اعداد و ارقام
مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی
یکشنبه 11 خرداد 1399
https://cgie.org.ir/Fa/article/259091/اعداد-و-ارقام
پنج شنبه 6 اردیبهشت 1403
چاپ شده
4
اعداد و ارقام \aºdād-o(va) arqām\، اعداد مجموعۀ نامهایی است که برای شمارش یا اندازه‌گیری چیزها به کار می‌رود، و ارقام مجموعۀ علامتهایی است برای نشان‌دادن اعداد. اعداد در نوع مقدماتی خود زاییدۀ فکر بشر برای شمردن اشیاء هستند. ابوریحان بیرونی در بخش «شمار» التفهیم، پیش از تعریف عدد، «یکی» یا واحد شمارش را چنین تعریف کرده است: «یکی چیست؟ آن است که یگانگی بر او افتد و بدو نام زده شود و از تمامی وی آن است که کمی و بیشی نپذیرد و از حال خویش به ضرب و قسمت نگردد و اندر قوت همۀ عددها ست و همۀ خاصیتهای ایشان ... ». او سپس عدد را چنین تعریف کرده است: «عدد چیست؟ جمله‌ای است از یکها گردآمده و از این جهت یکی را از عدد بیرون آوردند و گفتند که عدد نیست، زیرا که جمله[ای گردآمده از یکها] نیست» (ص 33-34). همان‌گونه که مشاهده شد، در روزگاران گذشته، «یک» عدد محسوب نمی‌شده است. از همین تعریف نیز برمی‌آید که «صفر» نیز عدد نیست، چنان‌که مدتهای مدید برای نشان‌دادن صفر نشانه‌ای نیز مقرر نشده بود. ضمن آنکه این تعریف تنها دربارۀ اعداد طبیعی صدق می‌کند؛ درحالی‌که خود بیرونی نیز عددهای کسری و حتى عددهای گنگ را در شمار اعداد یاد می‌کند. مفهوم عدد در طول تاریخ بسط یافته است و تعریف اعداد و اقسام آن که مطابق فرم کنونی ریاضیات و منطق باشد، خارج از حدود مورد نظر در این مقاله است. از آنجا که برای نمایاندن اعداد به یک دستگاهِ شمار (سیستم عددنویسی) و شماری شکل (رقم) نیاز است، نخست از شیوه‌های اقوام باستانی در این‌باره، و سپس دربارۀ مجموعه‌های مختلف اعداد یا «زوج اعداد» بحث می‌شود.
در مصر باستان اعداد در یک «دستگاه شمار بدون ارزش مکانی» و به‌صورت مجموعه‌ای از اعداد 1، 10، 100، ... و 000‘000‘1 نوشته می‌شدند. برای نشان‌دادن ارزش مراتب مختلف نیز یکی از این اشکال به کار می‌رفت:
به‌عنوان مثال، عدد 486‘375‘2 بدین‌صورت نگاشته می‌شد:
یعنی برای نشان‌دادن ضریب مرتبۀ ده‌دهی مربوط به هر مرتبه، نشانۀ آن مرتبه به شمار مورد نظر تکرار می‌شد. درواقع، در دستگاه شمار مصری، ارقام برای نشان‌دادن مرتبۀ اعداد، و نه ضریب این مراتب، به کار می‌رفتند. در این سیستم، ترتیبِ گذاشتن علامتها اهمیت نداشت، اما مصریها می‌کوشیدند زیباترین ترتیب را برگزینند.
اقوام قدیم بین‌النهرین اعداد را با خط میخی نمایش می‌دادند. آنان اعداد را در «دستگاه شمار شصت‌گانی (پایۀ 60) با ارزش مکانی» می‌نوشتند. اما هریک از 59 رقم این دستگاه شمار، به‌نوبۀ خود، تنها با دو نشانۀ =1 و =10، یعنی در یک «دستگاه شمار ده‌گانی بدون ارزش مکانی»، نگاشته می‌شد. بابلیها این نشانه‌ها را در کنار یا بالای یکدیگر می‌نوشتند.
در دستگاه شمار بابلی، هیچ نشانه‌ای برای نمایاندن «صفر» وجود نداشت. آنان بیشتر برای مراتبی که ضریب آنها صفر بود، یک جای خالی در نظر می‌گرفتند. این امر موجب می‌شد که مقدار دقیق یک رقم تنها با بررسی محاسبات معلوم گردد. مثلاً این عدد:
ممکن بود 64= 4+(60×1)=4 , 1یا 3604= 4+(60×0)+(2 60× 1)= 1,0,4یا 216002= 4+(60×0)+ (2 60×0)+(3 60×1)=1,0,0,4خوانده شود. آنها معمولاً مراتب مختلف شصت‌گانی را با نشانه‌ای از یکدیگر جدا می‌کردند. مثلاً در دستگاه شصت‌گانی برابر 370‘18 در دستگاه ده‌گانی (=10+(60×6)+ (602×5)) است.
یونانیها تقریباً از 500 ق‌م هریک از 27 حرف الفبای خود را به‌ترتیب برای نشان‌دادن یکی از اعداد 1 تا 9، و مضارب 10 و 100 این اعداد به کار می‌بردند. بدین‌سان، آنها ناچار بودند برای مرتبۀ هزارگان و بالاتر، از نشانه‌های اضافی استفاده کنند. در این سیستم نیز، مانند سیستم مصری، ارزش ارقام مختلف با یکدیگر جمع می‌شد.
در میان مسلمانان، دستگاه شماری بسیار شبیه به سیستم فوق، موسوم به حساب جُمَّل، رایج بود که در آن از حروف ابجد (ه م) استفاده می‌گردید.
رومیها از این علامتها برای ارقام خود استفاده می‌کردند: 000‘1=M 500=D 100=C 50=L 10=X 5=V 1=Iدر واقع، تفاوت میان ارقام و دستگاه شمار رومی و مصری در وجود نشانه‌ای مستقل برای اعداد 5، 50 و 500 در سیستم رومی بود. همچنین در این دستگاه اگر ارقام I، X یا C به‌ترتیب در سمت چپ اولین دو رقم بزرگ‌تر از خود (V و X و ... ) قرار می‌گرفت، عدد کوچک‌تر از عدد بزرگ‌تر کاسته می‌شد، اما اگر در سمت راست آن قرار می‌گرفت، مانند سیستم مصری عمل می‌شد؛ به‌عنوان مثال، 1- 5 = IV و 1+5= VI. همچنین هیچ‌یک از ارقام (به‌جز M) بیش‌از 3 بار از پی هم نمی‌آمدند. به‌طور مثال، عدد 4 به‌صورت IV (و نه IIII)، و عدد 999‘4 به‌شکل MMMMCMXCIX، یعنی مجموع اعداد 000‘4 (MMMM)، 900 (CM)، 90 (XC) و 9 (IX)، نوشته می‌شد (و نه به‌صورت MMMMIM= 1-000‘1+000‘4).
یکی از شاهکارهای ریاضیات هند «دستگاه شمار ده‌گانی با ارزش مکانی»، یعنی همان دستگاه شمار رایج کنونی، است. نخستین نشانه‌های بهره‌گیری از دستگاه اعشاری هندی (البته به‌صورتی ابتدایی) به 300 ق‌م برمی‌گردد. در این زمان، هندیها مانند یونانیان برای اعداد 1 تا 9، و 10، 20، 30، ... ، 90، هجده حرف از الفبای براهمی را به کار می‌بردند.
همچنین دو نشانۀ و به‌ترتیب برای نشان‌دادن اعداد 100 و 000‘1 به کار می‌رفت. در این سیستم، برای نشان‌دادن مضارب اعداد، مثلاً نشان‌دادن اعدادی مثل 200، 300، ... یا 000‘2، 000‘ 3، ... ، همان روش مصری به کار می‌رفت (یعنی ضرایب 1 تا 9 در کنار دو رقم 100 و 000‘1 به کار می‌رفت). نخستین نشانه‌های به‌کارگیری سیستم شمار با ارزش مکانی به حدود سدۀ 6 م بازمی‌گردد. در یک مدرک اهدایی، تاریخی با ارقام براهمی به این صورت نوشته شده است:
تفاوت میان این شکل عددنویسی با شیوۀ عددنویسی امروزی تنها در شکل ارقام به‌کاررفته، و نیز به‌کارگیری رقم صفر برای نشان‌دادن مراتب خالی است. سیر تغییرات پیش‌آمده در شکل ارقام را می‌توان در این نمودار مشاهده کرد:
معلوم نیست کـه مردم خاور میانه از چه زمانی با ارقام هندی آشنایی پیدا کرده‌اند. احتمالاً دستگاه مکانی اعشاری از طریق جاده‌های کاروان‌رو به خاور نزدیک رسیده است. شاید این تحول در دورۀ ساسانیان (224-641 م)، یعنی هنگامی که میان ایران، مصر و هند روابط نزدیکی برقرار بوده است، صورت گرفته باشد. مردم این مناطق احتمالاً در این زمان با سیستم عددنویسی رایج در بین‌النهرین نیز آشنا بوده‌اند. کهن‌ترین مأخذ نگاشته‌شده در خارج از هند که در آن اعداد با دستگاه شمار هندی ثبت شده، یکی کتابی از یک اسقف سوری به نام سوروس سبخت، و دیگری ترجمۀ عربی سیدهانتا (سند هند) از ابراهیم بن حبیب فزاری (ترجمه: 156 ق / 773 م) است. پس از ترجمۀ این اثر مهم نجومی هند، دستگاه شمار هندی به‌سرعت در میان مسلمانان رواج یافت؛ هرچند که در کنار این سیستم، به‌کارگیری حساب جُمّل رایج بود. اما آشنایی اروپاییها با دستگاه شمار هندی ـ اسلامی احتمالاً در اوایل سدۀ 13 م و از طریق روایات لاتین کتاب حساب محمد بن موسى خوارزمی، ریاضی‌دان پرآوازۀ ایرانی، موسوم به الجمع و التفریق بحساب الهند (تألیف: 210 ق / 825 م)، که کهن‌ترین کتاب عربی نوشته‌شده دربارۀ حساب به شمار می‌رود، حاصل شده است. اصل عربی کتاب از میان رفته، اما بر اساس دو شرح لاتین موجود از این کتاب، روشن گشته که این کتاب نه ترجمۀ یک متن هندی، که جمع‌بندی برخی از آثار هندیها دربارۀ حساب بوده است. در این کتاب، از دستگاه شمار ده‌گانی با ارزش مکانی، 4 عمل اصلی، تضعیف (دو برابر کردن)، تنصیف (نصف‌کردن)، چگونگی محاسبه با کسرهای شصت‌گانی، و روش گرفتن جذر از اعداد طبیعی و کسرها بحث شده است.
یونانیان، درست برخلاف مصریها و بابلیها، بیشتر به جنبه‌های علمی و نظری ریاضیات توجه داشتند. فیثاغورس (د ح 500 ق‌م) و پیروان او برای اعداد خواصی سحرآمیز قائل بودند. آنان برای هر عدد تعبیری در نظر می‌گرفتند؛ مثلاً اعداد زوج را مؤنث، اعداد فرد را مذکر، و عدد 5 را، که کوچک‌ترین حاصل جمع دو عدد زوج و فرد بود، نماد زناشویی می‌پنداشتند. در واقع، فیثاغورس و پیروان او را می‌توان پیش‌گامان بسط نظریۀ اعداد ــ که از خواص آنها بحث می‌کند ــ به شمار آورد. اینک تعریف سادۀ چند مجموعه از اعداد:
مجموعۀ اعداد 1، 2، 3، 4، ... را مجموعۀ اعداد طبیعی می‌نامند. نخستینِ آن عدد یک است. با افزودن عدد یک به هر عضو مجموعه، عضو بعدی به دست می‌آید. ابوریحان بیرونی در این باره چنین گفته است: «عددهای طبیعی کدام‌اند؟ آن‌اند که ابتدا از یکی کنند و زیادت یک‌یک همی‌کنند، چون 1، 2، 3، 4، 5، ... و نیز آن را عددهای متوالی خوانند، اَی یک از پس دیگر» (البته ابوریحان در اینجا باز هم یک را در شمار اعداد نمی‌داند، نک : ص 34).
اعدادی هستند که بتوان آنها را به‌صورت (a و b اعداد صحیح، و b≠0) نشان داد.
یـا بـه‌تعبیر بیرونی (نک : ص 42) «کر»، اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به‌صورت کسر a/ b (a و b اعداد صحیح، و b≠0) نشان داد. نخستین خاصیتی که دربارۀ اعداد طبیعی مطرح می‌شود، زوج یا فرد بودن آنها ست (نک : همو، 34، که عدد 3 به‌عنوان نخستین عدد فرد آمده است). در اینجا به برخی زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی که خواصی مهم دارند، اشاره می‌شود: اعداد اول: اعدادی هستند صحیح و بزرگ‌تر از 1 که جز بر خود و بر 1، بر عدد دیگری قابل قسمت نباشند. اعداد صحیح بزرگ‌تر از 1 که اول نباشند، مرکب خوانده می‌شوند. به‌طور مثال، عدد 19 اول است و عدد 21 مرکب؛ زیرا عدد 21، افزون بر 21 و 1، بر 7 و 3 نیز قابل قسمت است. شمار اعداد اول، همان‌گونه که اقلیدس نیز در کتاب IX اصول خود بدان اشاره کرده، بی‌نهایت است. برای به دست آوردن اعداد اول کوچک‌تر از عدد مفروضی مانند n، از روش غربال منسوب به اراتستن (ح 276- ح 194 ق‌م) استفاده می‌شود (برای توضیح این روش، نک : مصاحب، 2 / 77-81). دربارۀ اعداد اول، هنوز هم مباحث بسیار و بعضاً لاینحلی وجود دارد که از آن جمله می‌توان به چگونگی توزیع فراوانی اعداد اول اشاره کرد. فیثاغورسیان اعداد مصور، اعداد تامّ و اعداد متحاب را می‌شناخته‌اند که در اینجا از آنها یاد می‌شود: اعداد مصور: شامل اعداد مثلثی، مربعی و مخمسی است. این اعداد مجموع n جملۀ نخست از یک تصاعد حسابی هستند.
در این مقاله، پس از این، فقط دربارۀ اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌ای از آنها بحث می‌شود و همه‌جا منظور از «اجزاء یک عدد طبیعی» همۀ مقسومٌ‌‌علیه‌های آن به‌جز خود آن عدد است. اعداد تامّ: عدد طبیعی a را تام گویند هرگاه (a) (یعنی مجموع اجزاء عدد a) برابر خود a باشد؛ مانند عدد 6 که مقسومٌ‌‌علیه‌های کوچک‌تر از 6 آن عبارت‌اند از: 1، 2 و 3 و داریم: (6)=1+2+3=6 . اقلیدس (ز ح 300 ق‌م) در کتاب IX اصول ثابت می‌کند که اگر برای هر n صحیح و مثبت 2n-1 یک عدد اول باشد، آن‌گاه (2n-1) 2n-1 یک عدد تام خواهد بود. برخی از دیگر اعداد تام عبارت‌اند از: 28، 496، 128‘8، ... . اعداد ناقص: اعدادی را گویند که از مجموع اجزاء خود بزرگ‌تر باشند؛ مانند عدد 8 که 8<4+2+1. اعداد زائد: اعدادی را گویند که از مجموع اجزاء خود کوچک‌تر باشند؛ مانند عدد 12 که 12>6+4+3+2+1. اعداد متحاب: دو عدد صحیح مثبت را متحاب گویند هرگاه مجموع اجزاء هریک برابر دیگری باشد؛ مثال: دو عدد 220 و 284 را متحاب نامند، زیرا:
کشف این جفت عدد متحاب را به فیثاغورس نسبت می‌دهند. قاعده‌ای برای تعیین برخی از اعداد متحاب را ثابت بن قره (221- 288 ق / 836-901 م) به دست آورده، که با فرم امروزی بدین قرار است: اگر دو عدد h=3×2n-1 و t=3×2n-1-1 اول باشند، و عدد s=t+h+h×t نیز عددی اول باشد، آن‌گاه دو عدد b=2n(h+t+h×t) و a=2n×h×t زوجی متحاب‌اند. به‌ازای 2=n داریم: 220=a و 284=b، و به‌ازای 4=n دو عدد متحاب 416‘ 18=a و 296‘ 17=b به دست می‌آیند (ووپکه، 420-429). این زوج را کمال‌الدین فارسی در تذکرة الاحباب فی بیان اعداد التحاب یاد کرده است. ابن‌بنّای مراکشی (نک : داک، 2 / 500 -504) نیز تقریباً هم‌زمان با کمال‌الدین فارسی، ضمن تکرار دستور ثابت بن قره (البته با بیانی دشوارتر)، همین زوج را دوباره به دست آورده، و در المسائل فی العدد التام و الناقص و الزائد ذکر کرده است. مدتها بعد و در 1636 م، پیر دو فرما نیز به همین زوج دست یافت (نک : جعفری، «تاریخ ... »، 55-56, 75؛ ووپکه، 428-429؛ قربانی، 40-41، 56- 59). به‌ازای 7=n دو عدد متحاب 056‘ 437‘9=b و 584‘ 363‘9=a توسط محمدباقر یزدی (زنده در 1047 ق / 1637 م) به دست آمده، و در کتاب اصول عیون الحساب آورده شده است. این جفت عدد چند سال بعد به‌وسیلۀ دکارت دوباره به دست آمد. اعداد متعادل: گفتنی است که این اعداد تا چندی پیش در غرب ناشناخته بوده‌اند و نگارندۀ این مقاله در عیون الحساب محمدباقر یزدی به آن دست یافت. بر اساس مباحث این کتاب، نظریه‌ای ساخته شد؛ اما بعدها معلوم شد که ابومنصور بغدادی (د 429 ق / 1038 م) مدتها پیش از یزدی، در کتاب التکملة فی الحساب، دربارۀ این اعداد بحث کرده است. تعریف: اگر a و b دو عدد طبیعی باشند، این دو عدد را متعادل گویند هرگاه مجموع اجزاء آنها با هم برابر باشند، یعنی: (b) (a) = مثال: دو عدد 39 و 55 را متعادل گویند، زیرا: 17=11+5+1=(55) و 17=13+3+1= (39) محمدباقر یزدی خاصیت زیر را ثابت کرده است: فرض کنیم
n=p1 + p2 =q1 + q2
که در آن p1، p2، q1 و q2 اعداد اول غیر از 2 هستند و q1≠q2 و p1≠p2؛ در این صورت، اعداد p1 p2 و q1 q2 متعادل‌اند، یعنی:
اثبات این تساوی آسان است، زیرا طرف راست برابر است با q1+q2+1 و طرف چپ برابر است باp1+p2+1. در اینجا بی‌مناسبت نیست که حدس کریستیان گلدباخ (1690-1764 م) را یادآوری کنیم. فرض کنیم و n>6 و زوج باشد؛ در این صورت، می‌توان نوشت: n=p1+p2 که در آن p1 و p2 دو عدد اول متمایزند. در مثال محمدباقر یزدی داریم: 11+5=13+3=16 پس 133=39 و 115=55 متعادل‌اند. در این تنها مثال محمدباقر یزدی، n به‌صورت توانی از 2 (زوج‌الزوج) است. مثال دیگری از ابومنصور بغدادی: 43+13=53+3=56 پس دو عدد 533=159 و 4313=559 متعادل‌اند. در مثال ابومنصور بغدادی n به‌صورت 2k×p است. ابومنصور بغدادی و یزدی روش دیگری را برای پیداکردن اعداد متعادل بررسی نکرده‌اند، ولی قواعد پیشنهادی آنان برای ساختن اعداد متعادل قابل توجه است: 1. فرض می‌کنیم p1، p2، q1، q2 اعداد اولی باشند و p1≠p2، q1≠q2 و a=p1 p2، b=q1 q2در این صورت، تعادل زیر برقرار است:
به‌زبان دیگر، شرط لازم و کافی برای اینکه a و b متعادل باشند، این است که p1 + p2 =q1 + q2 به‌عنوان مثال: (11×7) = (13×5) 18=11+7=13+5 2. فرض می‌کنیم p و q دو عدد اول باشند و p≠2 و a=2p و b=q2. در این صورت، این تعادل برقرار است:
به‌زبان دیگر، شرط لازم و کافی برای اینکه a و b دو عدد متعادل باشند، این است که p و q اعداد اول توأمان باشند، زیرا اگر (b) = (a) ، آن‌گاه داریم: 1+ p+ 2 = 1 + q، در نتیجه 2= q-p؛ و برعکس اگر 2 q-p=، آن‌گاه داریم: در نتیجه، a و b متعادل‌اند. مثال: اولین و دومین زوج متعادل از این نوع عبارت‌اند از: (2 5 و 3×2) و (2 7 و 5×2) یعنی زوجهای (25، 6) و (49، 10). 3. فرض کنیم p1 و p2 دو عدد اول فرد باشند و n عددی صحیح و بزرگ‌تر از 1 و و . در این صورت، تعادل زیر برقرار است: زیرا ؛ در نتیجه، داریم: مثال: اولین و دومین زوج متعادل از این نوع عبارت‌اند از: (5 2 2 و 19 2) و (3 2 2 و 13 2)، یعنی زوجهای (20، 38) و (12، 26). از آنجا که بغدادی نیز مدعی کشف اعداد متعادل نیست، به نظر می‌رسد که آنها را در یک اثر ریاضی دیگر یافته باشد (نک : جعفری، «تاریخ»، جم ، «نوعی ... »، 125-139).
بیرونی، ابوریحان، التفهیم، به‌کوشش جلال‌الدین همایی، تهران، 1317 ش؛ داک؛ قربانی، ابوالقاسم، فارسی‌نامه، تهران، 1363 ش؛ مصاحب، غلامحسین، تئوری مقدماتی اعداد، تهران، 1358 ش؛ نیز:
Djaʿfari Naini, A., Geschichte der Zahlentheorie im Orient, Braunschweig, 1983; id, «A New Type of Numbers ... », Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1983, vol. VII; Woepcke, F., «Notice sur une théorie ajouteé par Thâbit ben Korrah ... » , JA, 1852, vol. XX. علیرضا جعفری نائینی (دبا)
کاربر گرامی برای ثبت نظر لطفا ثبت نام کنید.
کاربر جدید هستید؟ ثبت نام در تارنما
کلمه عبور خود را فراموش کرده اید؟ بازیابی رمز عبور
کد تایید به شماره همراه شما ارسال گردید
ارسال مجدد کد
زمان با قیمانده تا فعال شدن ارسال مجدد کد.:
قبلا در تارنما ثبت نام کرده اید؟ وارد شوید
فشردن دکمه ثبت نام به معنی پذیرفتن کلیه قوانین و مقررات تارنما می باشد
کد تایید را وارد نمایید