ارشمیدس

اَرَشْمیدُس‌ (287-212ق‌م‌)، ریاضی‌دان‌ یونانی‌. در سیراكوز زاده‌ شد، پدرش فیدیاس‌، منجم‌ آن‌ شهر بود و ارشمیدس‌ بخشی‌ از مقدمات ریاضیات‌ را نزد او فرا گرفت‌. ظاهراً خانوادۀ ارشمیدس‌ با هیرون‌ دوم‌ فرمانروای‌ سیراكوز خویشاوندی‌ داشتند. میان‌ ارشمیدس‌ و هیرون‌ رابطۀ دوستی‌ نیز پدید آمد و ارشمیدس‌ یكی‌ از آثار خود را به‌ گلون‌، فرزند ارشد و جانشین‌ هیرون‌ تقدیم‌ كرد (پاولی‌، III/ 507-508؛ هیث‌، 16-15؛ بستانی‌، 9/ 88). 
ارشمیدس‌ در آغاز جوانی‌، در دورانی‌ كه‌ مدرسۀ اسكندریه‌ در اوج‌ شكوفایی‌ بود، به‌ آنجا رفت‌ و به‌ كسب‌ دانش‌ پرداخت‌. بسیار محتمل‌ است‌ كه‌ دانشوران‌ اسكندریه‌ نیز از نبوغ‌ وی‌ در هندسه‌ بهره‌ برده‌ باشند. او در دوران‌ اقامت‌ طولانی‌ در اسكندریه‌ با نام‌آورترین‌ ریاضی‌دانان‌ آن‌ شهر پیوند دوستی‌ برقرار كرد، چنانكه‌ پس‌ از بازگشت‌ به‌ زادگاه‌ خود نیز همواره‌ با ایشان‌ مكاتبه‌ داشت‌ و آنان برای‌ اثبات‌ برخی‌ گزاره‌های‌ هندسی‌ از او یاری‌ می‌جستند (ارشمیدس‌، 151؛ پاولی‌، بستانی‌، همانجاها). 
ارشمیدس‌ پس‌ از بازگشت‌ به‌ سیراكوز، زندگی‌ خود را وقف‌ تدریس‌ ریاضیات‌، حل‌ مسائل‌ هندسی‌ و اختراع‌ ابزارهای‌ مكانیكی‌ ساخت‌. او را بزرگ‌ترین‌ ریاضی‌دان‌ باستانی‌ شمرده‌اند و ظاهراً در یونان‌ باستان‌ عنوان‌ مهندس‌ ویژۀ او بود و در میان‌ ریاضی‌دانان‌ دورۀ اسلامی‌ هم‌ به‌ همین‌ عنوان‌ شهرت‌ داشت‌ (انبوبا، 86). وی‌ برخلاف‌ رسم‌ آن روزگار، به‌طور مستقل‌ و جدا از فلسفه‌ به‌ ریاضیات‌ می‌پرداخت‌، اما گاه‌ نیز پرسشهایی دربارۀ ماهیت برخی موضوعات ریاضی مطرح می‌ساخت‌. ارشمیدس‌ علاوه‌ بر ریاضیات‌، به‌ فیزیك‌، نجوم‌ و مكانیك‌ نیز، به‌ سبب‌ كاربرد ریاضیات‌ در آنها، علاقه‌ نشان‌ می‌داد. در حقیقت‌ بیشتر به‌ جنبۀ نظری‌ علوم‌ توجه‌ داشت‌ و جز در مواردی‌ كه‌ نیاز جامعه‌ ایجاب‌ می‌كرد، به‌ جنبۀ كاربردی‌ آنها نمی‌پرداخت‌ (پاولی‌، همانجا؛ هیث‌، 16؛ بستانی‌، همانجا؛ اشتولوف‌، 164). او مسحور جذبه‌ای‌ كه‌ پیوسته‌ همراه‌ او بود، خوردن‌ و نوشیدن‌ و نظافت‌ را فراموش‌ می‌كرد و زمانی‌ كه‌ او را به‌ زور به‌ گرمابه‌ می‌بردند، از هر وسیلۀ ممكن‌ برای‌ رسم‌ تصاویر هندسی‌ استفاده‌ می‌كرد و خود را با آنها مشغول‌ می‌داشت‌ (پلوتارک، V/ 481؛ اشتولوف‌، همانجا؛ هیث‌، 18-19). 
اگرچه‌ اختراعات‌ ارشمیدس‌ برای‌ او آوازه‌ای‌ بلند به‌ عنوان‌ ابرمردی‌ با عقل‌ فوق‌ بشری‌ به‌ ارمغان‌ آورده‌ بود، خود او مایل‌ نبود در این‌باره‌، نوشته‌ای‌ از خود برجای‌ گذارد. او ساختن‌ ابزارهای‌ مكانیكی‌ و به‌ طور كلی‌ هرگونه‌ كاری‌ را كه‌ به‌ قصد دست‌ یافتن‌ به‌ سود عملی‌ صورت‌ می‌گرفت‌، خوار و بی‌مقدار می‌شمرد و همۀ همت‌ خود را متوجه‌ اندیشه‌هایی‌ می‌ساخت‌ كه‌ زیبایی‌ و لطافت‌ آنها با هیچ‌ گونه‌ شائبۀ توجه‌ به‌ سودمندی‌ همراه‌ نبود. در نظر ارشمیدس‌، سودمندی‌ هندسه‌ در عمل‌، در شمار نتایج‌ فرعی‌ این‌ دانش‌ است‌. وی‌ با چنان‌ شدتی‌ بر این نظر شخصی‌ خویش‌ اصرار می‌ورزید كه‌ زمانی‌ هیرون‌ به‌ طور جدی‌ از او خواست‌ تا دانش‌ خود را اندكی‌ از مسائل‌ مجرد به‌ سوی‌ مسائل‌ مشخص‌ معطوف‌ دارد و نظریات‌ خود را به‌ گونه‌ای‌ مطرح‌ سازد كه‌ برای‌ مردمان‌ عادی‌ قابل‌ درك‌ باشد، بدین‌ سان‌ كه‌ به‌ شكل‌ قابل‌ لمس‌، اندكی‌ هم‌ به‌ نیازهای‌ عملی‌ آنان‌ بپردازد. پس‌ از درگذشت‌ هیرون‌، زمانی‌ كه‌ رومیان‌ به‌ سیراكوز حمله‌ بردند، ارشمیدس‌ به‌ اندرز او عمل‌ كرد و همۀ نبوغ‌ خود را در دانش‌ مكانیك‌ در خدمت‌ دفاع‌ از زادگاه‌ خویش‌ و مردم‌ آن‌ به‌ كار برد (پلوتارك‌، V/ 479-481؛ اشتولوف‌، همانجا؛ پاولی‌، III/ 508).
ارشمیدس‌ پایه‌گذار دانش‌ تعادل‌ مایعات‌، كاشف‌ نیروی‌ رانش‌ (قانون ارشمیدس‌) و قانون‌ اهرم‌ شناخته‌ شده‌ است‌. در این‌ زمینه‌ها داستانهایی‌ نقل‌ كرده‌اند كه‌ صحت برخی‌ از آنها محل‌ تردید است‌. گفته‌ می‌شود كه‌ ارشمیدس‌، نیروی‌ رانش‌ را زمانی‌ كشف‌ كرد كه‌ هیرون‌ از او خواسته‌ بود كه‌ دربارۀ میزان‌ طلا و نقرۀ به‌ كار رفته‌ در تاج‌ وی‌ تحقیق‌ كند و او در گرمابه‌ به‌ حل‌ این‌ مسأله‌ توفیق‌ یافت‌. همچنین‌ حكایت‌ كرده‌اند كه‌ وی‌ با استفاده‌ از قرقره‌های‌ مركب‌، توانست‌ یك كشتی‌ پر از سرنشین‌ را، به‌ تنهایی‌ از خشكی‌ به‌ سوی‌ دریا ببرد (پاولی‌، همانجا؛ اشتولوف‌، 165-160؛ هیث‌ 19؛ كلاگت‌، 213). در زمینۀ كشف‌ قانون‌ اهرم‌ نیز این‌ سخن‌ از او نقل‌ شده‌ است‌: «نقطۀ اتكایی‌ برای‌ من فراهم‌ كنید تا زمین‌ را به‌ حركت‌ در آوردم‌»؛ نیز گفته‌اند كه‌ ارشمیدس‌ برای‌ دفاع‌ از سیراكوز در برابر حملات‌ رومیان‌، منجنیقهای‌ بزرگی‌ ساخته‌ بود و به‌ كمك‌ آنها سنگهای‌ بزرگ‌ یا گلوله‌های‌ سربی‌ را به‌ سوی‌ سربازان‌ و كشتیهای دشمن‌ پرتاب‌ می‌كرد. ابزارهایی‌ كه‌ ارشمیدس‌ ساخته‌ بود و هریك‌ از آنها در آن‌ دوران‌ معجزه‌ای‌ به‌ شمار می‌رفت‌، رومیان‌ را بر آن‌ داشت‌ كه‌ تا مدتها از حمله‌ به‌ سیراكوز چشم‌ بپوشند و به‌ محاصرۀ آن اكتفا كنند (پاولی‌، III/ 508,538-539؛ هیث، 16-17؛ كلاگت‌، همانجه؛ ایوز، 142).
به‌رغم‌ اختراعات‌ نبوغ‌آمیز ارشمیدس‌، سرانجام‌ پس‌ از دو سال‌، رومیان‌ با استفاده‌ از غفلت‌ نگهبانان‌ سیراكوز، شهر را گشودند. در این‌ رویداد، ارشمیدس‌ غرق‌ در اندیشۀ حل‌ مسائل‌ ریاضی‌، اصلاً متوجه‌ سقوط شهر نشده‌ بود و با آنكه‌ مارسلوس‌، فرمانده‌ رومیان‌، دستور داده‌ بود كه‌ به‌ آن‌ پیر دانشور آسیبی‌ نرسانند، به‌ دست‌ سربازی‌ رومی‌ كشته‌ شد. روایت‌ كرده‌اند كه‌ كشته‌ شدن‌ ارشمیدس‌، مارسلوس‌ را سخت‌ اندوهگین‌ ساخت‌ و او فرمان‌ داد پیكر دانشمند را با احترام‌ به‌ خاك‌ سپارند و به‌ وصیت‌ او، یعنی‌ نصب‌ یك‌ كرۀ محاط در استوانه‌ و ذكر نسبت‌ حجم‌ این‌ دو بر روی‌ قبرش‌، عمل‌ كرد (پلوتارك‌، V/ 481؛ هیث‌، 18-17؛ پاولی‌، همانجا؛ «فرهنگ‌...»، 25؛ وان‌ در وردن‌، 351).

قبر ارشمیدس‌ به‌ زودی‌ از یادها رفت‌. در 75 ق‌م‌ سیسرون‌ آن‌ را در حالی‌ كه‌ زیر خاك‌ و خاشاك‌ پنهان‌ بود، كشف‌ كرد و به‌ ترمیم‌ آن‌ همت‌ گماشت‌، اما بار دیگر از نظرها افتاد و تا دوران‌ ما ناشناخته‌ ماند. در 1965م‌ هنگام‌ خاك‌برداری‌ برای‌ ساختن‌ یك‌ مهمانسرا در سیراكوز، سنگ قبری‌ پدید آمد كه‌ بر پایۀ برخی‌ نشانه‌ها، ممكن‌ است‌ متعلق‌ به‌ ارشمیدس‌ باشد (پاولی‌، نیز كلاگت‌، وان‌ در وردن‌، همانجاها). 
در منابع‌ اسلامی‌، از ارشمیدس‌ به‌ عنوان‌ دانشمندی كه‌ با آینه‌های‌ سوزان‌ كشتیهای‌ دشمن‌ را به‌ آتش‌ می‌كشیده‌ است‌، و نیز به‌ عنوان‌ یك‌ یونانی که در مصر می‌زیسته، و دانشهای بسیاری را از مصریان آموخته، و نخستین کسی است که در زمینهای بیشتر روستاهای مصر، برای جلوگیری از نفوذ آب نیل به هنگام طغیان، سدبندی کرده، و پلهایی برای حفظ ارتباط میان روستاها ساخته است و اینکه دانشمندان مصر بیشتر ار او بهره برده‌اند تا او از آنان، سخن گفته شده است. همچنین حفر آبگیری را در مصر، برای آنکه آب دریا به هنگام مدّ بدان ریزد و به هنگام جزر از آن بیرون رود، بدون آنکه به آب نیل آسیبی برسد، به وی نسبت داده‌اند. از محاسبۀ نسبت میان قطر و محیط زمین و نیز کشف یک گزارۀ مثلثاتی که برای محاسبۀ وتر قوس 36 به کار می‌رود، توسط وی، سخن گفته‌اند (یعقوبی، 119؛ بیرونی. الجماهر...، 187، تحدید...، 24، 217، القانون...، 1/ 273؛ قفطی، 66-67؛ ابن عبری، 63-64).
دانشمندان مسلمان تنها در اواسط سدۀ 3ق با تألیفات ارشمیدس آشنا شدند و به ترجمه و بررسی آنها پرداختند. بنی موسى (ه‍ م) کاستیهای کتاب وی دربارۀ کره و استوانه را بررسی کردند و کندی (ه‍ م) در رساله‌ای با عنوان تقریب قول ارشمیدس فی نسبة قطرالدائرة من محیطها دقت محاسبۀ عدد π (بی) از سوی ارشمیدس را مورد بحث قرار داد (GAS, V/ 121-122). 

آثار

نوشته‌های ارشمیدس را به 3 دسته تقسیم کرده‌اند:
1. دربارۀ اشکال هندسی منحنی، مانند «دربارۀ کره و استوانه»، «دربارۀ اندازه‌گیری دایره»، «دربارۀ شبه مخروطها و شبه کره‌ها» و نیز «دربارۀ مارپیچها» و «دربارۀ تربیع سهمی» (نک‍ : ارشمیدس، 247-252، گزاره‌های 18-24).
2. آثاری که به مسائل تعادل هندسی و نیز تعادل مایعات مربوط می‌شود، مانند گزاره‌های 1-17 در «تربیع سهمی»، «دربارۀ تعادل سطوح هامُنی» (مستوی)، «دربارۀ اجسام شناور» و «دربارۀ گرانیگاه سطوح هامُنی» (نک‍ : همو، 233-246).
3. آثاری در علم حساب، مانند «ریگ شماری»، «مسألۀ گاوان» و «رسالۀ استوماخیون» (ترکیب قطعات). هیث (ص 22) بر آن است که اثر اخیر نمی‌تواند از آن ارشمیدس باشد (نیز نک‍ : زوتر، 92-98؛ پاولی، III/ 517-518؛ کلاگت، 214؛ «فرهنگ»، همانجا). 
شماری از آثار وی نیز مفقود شده است که برخی از آنها را، مانند «دربارۀ تعادل سطوح هامنی» و رسالۀ «دربارۀ گرانیگاه اجسام»، می‌توان به کمک نقل قولهای موجود در آثار نویسندگان یونانی پس از او، بازسازی کرد و از برخی دیگر تنها عنوان اثر نویسندگان یونانی پس از او، بازسازی کرد و از برخی دیگر تنها عنوان اثر شناخته شده است. آثار دیگری نیز مانند کتابهای المأخوذات در هندسه، المسیع فی الدائرة، الاصول الهندسیة، فی الدوائر المتماسة و المثلثات از سوی مؤلفان مسلمان به ارشمیدس نسبت داده شده، و نسخه‌های بسیاری از ترجمۀ عربی آنها در دست است و برخی از آنها به چاپ نیز رسیده است (ارشمیدس، «فی الاصول...»، 18. «فی الدوائر...»، 2؛ ابن‌ندیم، 326؛ صاعد اندلسی، 29؛ پاولی، III/ 537؛ «فرهنگ»، 25-26؛ کلاگت، 230؛ GAS, V/ 131-135). ارشمیدس در کتاب «کره و استوانه»، شیوۀ محاسبۀ سطح و حجم کره و پرسشهای آن، و نیز در «شبه مخروطها و شبه کره‌ها». روش اندازه‌گیری حجم مقطعهایی از سهمی و هذلولی و بیضی دوار را به دست می‌دهد (پاولی، III/ 523؛ «فرهنگ»، 25). کتاب «کره و استوانه» را مترجمی گمنام به عربی ترجمه کرده، و ثابت بن قره آن را تصحیح کرده است. به گفتۀ خواجه نصیرالدین طوسی که خود تحریر دیگری از این کتاب به دست داده است، «کره و استوانه» یک‌بار دیگر نیز توسط قسطا بن لوقا (ه‍ م) به عربی ترجمه شده است. ماهانی و ابن هیثم (ه‍ م م) بر این کتاب شرح نوشته‌اند (نصیرالدین، 2-3؛ GAS, V/ 121). وی در تربیع سهمی، مساحت میان قوسی از سهمی و وتر واصل میان دو انتهای قوس را محاسبه کرده است (نک‍ : ه‍ د، ابراهیم بن سنان).
پژوهشهای تازه نشان می‌دهند که ارشمیدس شیوه‌های استدلال ریاضی را غنی‌تر ساخت و تنها به کاربرد روشهای اقلیدسی اکتفا نکرد. وی اصول متعارفه و موضوعه در ریاضیات را بسط داده، و در همین زمینه به ابتکارات تازه‌ای که در کتاب اصول هندسۀ اقلیدس مطرح نشده‌اند، دست یافته است. همچنین یک سلسله اصول موضوعه در مبحث تعادل هندسی و تعادل مایعات وضع کرده است. بدین‌ترتیب و با توجه به برهانهای ریاضی گزاره‌های مربوط به این مبحث، ارشمیدس به عنوان بنیان‌گذار بخشی از فیزیک ریاضی شناخته می‌شود. گرچه او تنها به قصد به دست آوردن گزاره‌های جدید ریاضی و اثبات آنها به اینگونه تحقیقات می‌پرداخت (پاولی، III/ 528-529؛ «فرهنگ»، 26). 
در «ریگ‌شماری»، ارشمیدس نمادگذاری برای سیستم اعداد را که در آن دوران تنها تا 10 را شامل می‌شد، تا 1063 گسترش داد و تأکید کرد که اعداد طبیعی تا بی‌نهایت ادامه دارند و در همین زمینه، مسائل مربوط به فواصل نجومی را نیز مطرح ساخت (نک‍ : پاولی، III/ 512-513؛ «فرهنگ»، همانجا). در «رسالۀ استوماخیون»، ارشمیدس یک مربع را به 14 بخش تقسیم کرده است، به‌طوری‌که مساحت هریک از این بخشها نسبت به کل مربع، یک عدد گویاست (نک‍ : شکل 1؛ نیز نک‍ : زوتر، 491-499).

از کارهای مهم ارشیمیدس کاربرد سیستماتیک روش افناء برای حل برخی مسائل بوده است. وی در اثر خود «دربارۀ مارپیچها» مسأله را به این صورت بررسی می‌کند: نقطه‌ای با سرعت ثابت V (با شروع از مبدأ O) بر روی خطی مستقیم حرکت می‌کند و در عین حال این خط مستقیم با تندی زاویۀ ثابت W حول نقطۀ O دوران می‌یابد، به این ترتیب این نقطه یک منحنی مارپیچ را طی می‌کند (شکل 2).

 این قضیه چنین بیان می‌شود: اندازۀ سطح پیموده شده توسط خط واصل میان مرکز و نقطۀ متحرک  P ،   3/ 1 اندازۀ سطح نخستین دایره (یعنی (O, 2kπ)C) است.
می‌خواهیم مساحت قسمت هاشورزده در شکل 2 را به دست آوریم. 
ارشمیدس برای حل این مسأله ابتدا در نظر می‌گیرد که رابطۀ r=kф که در آن ω/ v = k ، r فاصلۀ نقطۀ متحرک P از مبدأ O و ф مانند شکل 1 است (برحسب رادیان)، مشخص‌کنندۀ مسیر نقطۀ P است (به زبان امروز r=vt، ф=ωt و بنابراین k= ω/ 7= ф/ r  و در نتیجه r=kф). سپس نشان می‌دهد که:

برای اثبات این موضوع ارشمیدس از روش افناء استفاده می‌کند و دو ناحیۀ صفحه را در نظر می‌گیرد:
الف ـ ناحیۀ I که اندازۀ سطح آن (SΙ) از اندازۀ سطح مورد نظر (S) بزرگ‌تر است (شکل 3) و چنین ساخته می‌شود:
نقاط P1، P2، ...، Pn را روی مسیر حرکت نقطۀ p چنان در نظر می‌گیریم که داشته باشیم:

درنتیجه باتوجه به معادلۀ منحنی خواهیم داشت:

 نقاط P0، P1، ...، Pn-1 را با شرایط زیر بر می‌گزینیم:

 ارشمیدس از رابطۀ زیر استفاده کرده است:

در اینجا ارشمیدس از راه برهان خلف ثابت می‌کند که: 

 چون در غیر این صورت خواهیم داشت:

 اکنون n را آن قدر بزرگ انتخاب می‌کنیم که داشته باشیم:

 از رابطۀ (4) نتیجه می‌شود: 

 این نامساوی ناقص رابطۀ (2) است. پس نامساوی (3) برقرار است. 
ب ـ ناحیۀ II که اندازۀ سطح آن (SII) کوچک‌تر از S است (شکل 4) و چنین ساخته می‌شود نقاط   را چنان برمی‌گزینیم که داشته باشیم:

 و از رابطۀ (1) خواهیم داشت:

و چون برای هر عدد طبیعی n داریم:  

در نتیجه:  

ارشمیدس در اینجا از راه برهان خلف ثابت می‌کند که:

چون در غیر این صورت خواهیم داشت:

 اکنون n را آن‌قدر بزرگ می‌کنیم که داشته باشیم:

 از رابطه   نتیجه می‌شود:

 این نامساوی ناقض رابطۀ (5) است پس نامساوی   هم برقرار است.
از (3) و   نتیجه می‌شود:  

امروزه با انتگرال‌گیری (که در حقیقت همان روش افناء است) به سادگی می‌توان به همین نتیجه رسید:

 شایان توجه است که مارپیچ ارشمیدس در مبدأ مختصات با محور افقی مماس است، زیرا:

مآخذ

ابن عبری، غریغوریوس، تاریخ مختصر الدول، بیروت، 1983م؛ ابن ندیم، الفهرست؛ انبوبا، عادل، «تسبیع الدائرة»، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، 1977م، س 1، شم‍ 2؛ ارشمیدس، «فی الاصول الهندسیة»، «فی الدوائر المتماسة»، رسائل ابن‌قرة، حیدرآباد دکن، 1366ق/ 1947م؛ بستانی؛ بیرونی، ابوریحان، تحدید نهایات الاماکن، آنکارا، 1962م؛ همو، الجماهر فی معرفة الجواهر، بیروت، 1404ق/ 1984م؛ همو، القانون المسعودی، حیدرآباد دکن، 1373ق/ 1954م؛ صاعد اندلسی، طبقات الامم، بیروت، 1912م؛ قفطی، علی، تاریخ الحکماء، اختصار زوزنی، به کوشش بولیوس لیبرت، لایپزیگ، 1903م؛ نصیرالدین طوسی، تحریر الکرة و الاسطوانة، حیدرآباد دکن، 1359ق؛ یعقوبی، احمد، تاریخ، بیروت، 1379ق/ 1960م؛ نیز:

Archimedes, «On Spirals», Works, ed. T. L. Heath, New York, 1897; Clagett, M., «Archimedes» Dictionary of Scientific Biography, New York, 1970, vol. I; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York etc., 1964; GAS; Heath, T. L., introd. Works (vide: Archimedes); Lexikon bedeutender Mathematiker, ed. S. Gottwelt al., Leipzig; Pauly; Plutarch, Lives, tr. B. Perrin, London etc., 1968; Stuloff, N., Die Entwicklung der Mathematik, Mainz, 1982; Suter, H., «Der Loculus Archemidius», Beiräge zur Geschichte der Mathematik und Astronomie im Islam, Frankfurt, 1986, vol. II; Van der Waerden, B. L., Erwachender Wissenschaft, Basel, 1966.
علیرضا جعفری نائینی