بوزجانی، ابوالوفا

اثبات شكل ظلی به روش بوزجانی

در این شكل دو كمان DE و BG میل دوم دو كمان AD و AB هستند (یعنی به جای عمود بودن بر C2، بر دایرۀ عظیمه خود، یعنی C1 عمودند). 
ابوالوفا می‌خواهد ثابت كند:   (شكل 2). 

برهان

از دو نقطۀ B وD دو عمود BH وDY را بر سطحADB بیرون می‌آوریم. پاره خطهایZG وZE را رسم می‌كنیم و امتداد می‌دهیم 
تا دو خط BH و DY را در نقاط H و Y قطع كنند. از دو نقطۀ H و Y دو عمود HK و YM را بر خط AZ فرود می‌آوریم و دو پاره خط BK و DM را رسم می‌كنیم. چون دو خط KH و HB به ترتیب با دو خط MY و YD موازیند، دو زاویۀ KHB و MYD نیز برابرند و دو زاویۀ HBK و YDM نیز قائمه‌اند. پس دو مثلث KHB و MYD متشابه‌اند و نسبت DM (جیب كمان (AD به BK (جیب كمانAB ) برابر است با نسبت DY (ظل كمانDE ) به BH (ظل كمانBG ) و این همان است كه می‌خواستیم ثابت كنیم (بیرونی، همان، 131). 
همان طور كه می‌بینیم در شكل نخست زوایای G و E و در شكل دوم زوایای B و D قائمه بودند. در نتیجه، روابط شكل مغنی و ظلی (با بیان بوزجانی) همواره به مثلثهای كروی قائم الزاویه مربوط می‌شود؛ و در نتیجه، در دو مثلث قائم الزاویۀ كروی ABC و AB´C´ (زوایای B وB´ قائمه‌اند) كه اضلاع آنها بخشی از دوایر عظیمه كره‌اند (در نتیجه، كمان BC همان میل ثانی كمان AB نسبت به AC، و میل اول كمان AC نسبت به AB است و كمان B´C´ نیز...)، اگر اضلاع روبه روی هر رأس مثلث را مطابق معمول با همان نام ولی با حروف كوچك نشان دهیم، شكل مغنی و ظلی را می‌توان به ترتیب به صورت روابط نوشت. بوزجانی با استفاده از شكل مغنی و به دست آوردن رابطۀ   (R شعاع كرۀ مثلثاتی است؛ چنان كه گفته خواهد شد، بوزجانی برای سادگی R را برابر واحد می‌گیرد) كه قدما آن را دستور«چهار مقدار» می‌نامیدند و تلفیق آن با شكل ظلی به رابطۀ   می‌رسد (كارا دو وو،423؛ قربانی، 6). 

ابداعات بوزجانی در مثلثات مسطحه

در مجسطی بوزجانی، افزون بر شكل مغنی و ظلی، در زمینۀ مثلثات مسطحه نیز این مسائل برای نخستین بار مطرح شده است: 

1. انتخاب شعاع دایرۀ مثلثاتی برابر واحد

ریاضی‌دانان یونانی و دورۀ اسلامی ‌همواره شعاع دایرۀ مثلثاتی را 60 واحد می‌گرفتند. به همین سبب، دو تابع مثلثاتی جیب و جیب تمام به ترتیب 60 برابر تابع سینوس و كسینوس بود (امروزه برای تمییز این دو تابع از توابع سینوس و كسینوس رایج، حرف نخست آنها را بزرگ می‌نویسند: sin(x) Sin(x)=60و .(Cos(x)=60 cosx این كار موجب می‌شد كه روابط توابع مثلثاتی پیچیده تر و متفاوت از شكل امروزی آنها بشود. بوزجانی در مجسطی نخست به این توابع مثلثاتی اشاره می‌كند: 
 كه در آنهاk ‌اندازه شاخص محاسبۀ ظل است كه طول آن غالباً 12 واحد در نظر گرفته می‌شد. اما كارا دو وو در این روابط به جای طول شاخص (k)، شعاع دایره (R) را به كار برده است كه عموماً 60 واحد در نظر گرفته می‌شد (ص 420)؛ و این تنها به شرطی درست خواهد بود كه بوزجانی طول شاخص را نیز برابر شعاع دایرۀ مثلثاتی گرفته باشد (كه بعید است). 
به هر حال، بوزجانی پس از ذكر این روابط می‌نویسد: «واضح است كه اگر شعاع دایره را واحد بگیریم، نسبت جیب كمان به جیب تمام آن مساوی با ظلِ معكوس (تانژانت) و نسبت جیب تمام كمان به جیب آن مساوی با ظلِ مستوی (كتانژانت) خواهد بود» (نک‍ : قربانی، 7). بوزجانی در تدوین جدولهای جیب و ظل نیز شعاع دایرۀ مثلثاتی را برابر واحد اختیار كرده است (قربانی، همانجا). بیرونی ــ قاعدتاً با الهام گرفتن از بوزجانی ــ در مقالید به مزایای این كار اشاره می‌كند (ص 129) و نصیرالدین طوسی كه در رسالۀ كشف القناع این ابتكار را به بیرونی نسبت داده، از مجسطی بوزجانی آگاه نبوده است (نک‍ : كارا دو وو، 420-421).
حبش حاسب، پیش از بوزجانی، در زیج خود (روایت نسخۀ استانبول) برای نخستین بار دو تابع ظل و ظل معكوس را به صورت مستقل (و نه نسبت جیب بر جیب تمام یا عكس این نسبت) به كار برده، و جدولهایی نیز برای آنها ترتیب داده است (كرامتی، 61-62)؛ اما با توجه به عبارت یاد شدۀ بوزجانی دربارۀ تعریف ظل و ظل مستوی می‌توان دریافت كه وی طول شاخص را نیز برابر واحد اختیار كرده است. در این صورت، باید گفت: وی نخستین كسی است كه توابع مثلثاتی سینوس، كسینوس، تانژانت، و كتانژانت را به همین شكل رایج امروزی تعریف كرده، و به این روابط رسیده است: 
 

2. اثبات برخی روابط مهم در مثلثات مسطحه

بوزجانی درستی این روابط را ثابت كرده، و آنها را به كار بسته است (R شعاع دایرۀ محیطی و α بر حسب رادیان است): 
 
كه اگر R را برابر واحد فرض كنیم، به ترتیب به روابط بسیار مشهور و رایج سینوس و كسینوس هر كمان و نصف آن كمان، یعنی: 
  می‌رسیم. 
بوزجانی برای محاسبۀ جیب مجموع و تفاضل دو كمان، دو استدلال هندسی بیان كرده است كه از نخستین آنها این دستور پیچیده به دست می‌آید: 
 
با در نظر داشتن روابط مثلثاتی و برخی تبدیلات جبری ساده، می‌توان این دستور پیچیده را به همان دستور مشهوری كه امروزه به كار می‌رود، تبدیل كرد. اما بوزجانی این كار را نمی‌كند و نقص خود در تبدیلات جبری را با زبردستی در هندسه جبران می‌كند، زیرا استدلال هندسی دوم وی مستقیماً منجر به همان دستور مشهور سینوس مجموع یا تفاضل دو كمان منجر می‌شود: 
 
بوزجانی رابطۀ اخیر را چنین آورده است: «برای محاسبۀ جیب مجموع یا تفاضل دو كمان، به فرض آنکـه هر دو كمان معلوم باشد، نخست جیب هر یك از دو كمان را در جیب تمام كمان دیگر ضرب كرده، مقدار حاصل را بر حسب دقیقه ( واحد) فرض می‌كنیم (معادل تقسیم بر شعاع دایرۀ مثلثاتی) و سپس اگر جیب مجموع موردنظر باشد، این دو مقدار را با هم جمع كرده، اگر جیب تفاضل موردنظر باشد، آنها را از هم كم می‌كنیم» (كارا دو وو،421؛ نیز دلامبر، 156-161).

به دست آوردن جیب نیم درجه و عدد پی ( π )

بوزجانی به عنوان مقدمۀ محاسبه عدد π (و نیز برای تشكیل جدولهای توابع مثلثاتی) مقدار سینوسِ نیم درجه را (كه نصف وتر یك درجه است) با دقتی به مراتب بیش از بطلمیوس محاسبه كرده است. وی نخست به عنوان یك گزاره كمكی (لِم) ثابت می‌كند كه هرگاه β - α، α و β كمانهایی در ربع اول دایره باشند، آن گاه خواهیم داشت: 
برهان: چون 
طرفین نامساوی را در مقدار مثبت α2sin ضرب می‌كنیم:  
با توجه به فرمولهای سینوس تفاضل و جمع دو كمان: 
 
با جابه‌جاییِ مقادیر در دو سوی نامعادله داریم: 
 
براساس گزاره اخیر می‌توان این نامساویها را تشكیل داد: 
 
طرفین این 3 نامساوی را نظیر به نظیر جمع می‌كنیم: 
 
بوزجانی سپس نشان می‌دهد كه با معلوم بودنِ وترهای °36 و °60 می‌توان با تنصیفهای متوالی مقادیر   را به دست آورد. به علاوه   را نیز می‌توان از طریق مساوی قرار دادن   با   محاسبه كرد. وی سپس با قرار دادن   در نامساوی یاد شده، به این نامساوی می‌رسد: 
 
بوزجانی سینوسِ نیم درجه را با میانگین حسابی دو حدی كه به دست آورده است، برابر می‌گیرد و سینوس نیم درجه را در دستگاه شصت‌گانی 0; 0, 31, 24, 55, 54, 55 به دست می‌آورد (ووپكه، «دربارۀ...»، 590-595).
بوزجانی هرچند با محاسبۀ   با دقتی شایان تحسین از بطلمیوس (كه وتر یك درجه را كه دو برابر این مقدار است، به دست آورده بود) فراتر رفت، اما همچون او این محاسبه را به كمك درج واسطۀ حسابی انجام داد. گفتنی است كه چند قرن بعد، غیاث‌الدین جمشید كاشانی در رسالۀ وتر و جیب (كه متأسفانه تنها از طریق تحریر قاضی‌زادۀ رومی ‌و شرح میرم چلبی به دست ما رسیده است) این مسئله را با روشی بسیار بدیع و با دقتی شگفت‌انگیز حل كرد (نک‍ : قاضی‌زاده، گ 1 ب). وی در آغاز الرسالة المحیطیه نیز كه به خط خود اوست، روشهای بطلمیوس، بوزجانی و بیرونی را به ترتیب در محاسبۀ وتر یك درجه،   را نقد كرده، و دربارۀ روش بوزجانی آورده است: او وتر نیم درجه را 0; 0, 31, 24, 55, 54, 55 به دست آورده، درصورتی كه مقدار درست آن 0; 0, 31, 24, 56, 58, 36 است (گ 2 الف)؛ اما می‌دانیم كه بوزجانی سینوس نیم درجه را حساب كرده است، نه وتر آن را. 
اگر مقدار به دست آمده برای سینوس نیم درجه را به دستگاه ده دهی ببریم، 8 رقم اعشاری پاسخ با مقدار واقعی آن تطبیق می‌كند.خطای بوزجانی در محاسبۀ سینوسِ نیم درجه 9-10× 1174292 / 1، و درصد خطا كمتر از «14 میلیونیم» است. بوزجانی در ادامه عدد π را با دقتی بسیار بالا به دست آورده كه ‌اندازۀ خطای آن حدوداً 5-10×45 / 2،و درصد آن نیز كمتر از «780 میلیونیم» است (ووپكه، همان،285).

بوزجانی و كشف اختلاف سوم ماه

كشف این پدیده را ــ كه به واریاسیون موسوم است ــ غالباً به تیكوبراهه، منجم شهیر دانماركی نسبت می‌دهند، اما در 1835م سدیو در ضمن مقاله‌ای با عنوان «كشف واریاسیون توسط ابوالوفا، منجم سدۀ دهم میلادی» در «مجلۀ آسیایی» بخشهایی از مجسطی بوزجانی را همراه با ترجمۀ فرانسۀ آن منتشر ساخت كه به نظر وی مفهومِ واریاسیون مدتها پیش از تیكو براهه در آن مطرح شده است (ص 431-438).
بوزجانی در مقالۀ مربوط به ماه مجسطی آورده است: «فصل دهم، دربارۀ اختلاف سومی‌ كه برای ماه یافته می‌شود و اختلاف محاذات نام دارد... و پس از شناخت مقدار اختلاف اول و دوم و نیز مقدار «خروج مركز فلك خارجِ مركز از مركز فلك البروج، اختلاف سومی نیز یافتیم كه وقتی رخ می‌دهد كه مركز فلك تدویر میان بعد ابعد و بعد اقرب فلك خارج مركز باشد و این حالت بیشتر در مواقعی روی می‌دهد كه ماه نزدیك به حالت تثلیث یا تسدیس از خورشید باشد (یعنی زاویۀ ماه ـ زمین ـ خورشید برابر یك سوم یا یك ششم كل دایره باشد) و ما این حالت را هنگامی‌كه خورشید در كنار ماه یا روبه روی آن دیده می‌شود (اجتماع و مقابله) و نیز در هنگام تربیع نیافتیم ...» (نک‍ : سدیو، همان، 434-432؛ كارا دو وو، 440-443).
پس از آنکـه كارا دو وو در 28 فوریۀ 1836 این قضیه را در فرهنگستان علوم فرانسه مطرح كرد، فرهنگستان 4 تن از اعضای خود به نام بیو، آراگو، داموازو و لیبری را مأمور بررسی این موضوع كرد و این سؤالات را پیش كشید: اگر بوزجانی كاشف این اختلاف بوده است، چرا مسلمانانِ دیگر از آن یاد نکـرده‌اند؟ و آیا ممكن نیست كه این بخش از نسخۀ خطی پس از كشف تیكوبراهه، بدان ملحق شده باشد؟ (همو، 445).
سدیو برای رفع این شبهه، بندی از كتاب تیكوبراهه را كه واریاسیون در آن آمده بود، با سخنان بوزجانی مقایسه كرد و به اعتراضات اعضای آكادمی ‌پاسخ گفت. وی بر آن بود كه تقریباً همۀ منجمانی كه آثارشان باقی مانده است، پیش از بوزجانی می‌زیسته‌اند و ابن یونس نیز كه پس از وی می‌زیسته، به‌سببِ فاصلۀ زمانی كم و فاصلۀ مكانی بسیار از كار او آگاهی نداشته است. منجمان بعدی نیز زیج ابن یونس را اساس كار خود قرار داده‌اند (سدیو، «دربارۀ...»، 205-202، «یادداشت ...»، (258-264).
لیبری پاسخهای سدیو را كافی ندانست. به نظر وی اگر بوزجانی واقعاً در 975م این قضیه را كشف كرده بود (البته مجسطی قاعدتاً دیرتر از این نوشته شده است)، ابن یونس در الزیج الكبیر الحاكمی ‌در حدود سال 1007م حتماً بدان اشاره می‌كرد؛ اما سدیو بدین اعتراض نیز پاسخ گفت («پاسخ به انتقادات ..»، 301-307).
در 1838م نیز این دو ضمن مقالاتی بر نظر خود پافشاری كردند (لیبری، 526-525؛ سدیو، «پاسخ به یادداشت ...»، سراسر مقاله). در 1842م انجمنی كه برای رسیدگی به این موضوع تشكیل شده بود، منحل شد. سال بعد، ژان باتیست بیو كه نخست حامی‌ سدیو بود، پس از نظرخواهی از سالومون مونک، با سدیو به مخالفت پرداخت و این دو با همكاری رنو در ضمن مقالاتی متعدد ضمن مقایسۀ این بخش از مجسطی بوزجانی با آثار مشابه، هرگونه بحث درخصوص نظر سدیو را ناممكن شمردند (نک‍ : مثلاً 
بیو، «دربارۀ رساله ...»، 534-513، جم‍ ، «دربارۀ تبیین ...» 825-823؛ مونک، «دربارۀ...»، 1448-1444، «یادداشت ...»، 76-80).
سدیو در مقالات متعدد به این اعتراضات پاسخ گفت و سرانجام، بی‌توجهی به این اشتباه علمی‌ را دون شأن فرهنگستان علوم فرانسه برشمرد. 15 سال پس از توقف مباحثات از سوی بیو، سدیو توانست شال، ریاضی دان مشهور فرانسوی را با خود هم عقیده سازد؛ اما این امر موجب شد برتران با وی به مخالفت پردازد. این دو طی 11 سال مقالات بسیاری در اثبات نظر خود نوشتند (نک‍ : مثلاً شال، «نامه ...»، 1012-1002، «توضیح ...»، 911-901؛ برتران، «یادداشت ...»، 589-581، «نظریه ...»، 457-474). سدیو كه در این میان همچنان بر نظر خود پافشاری می‌كرد، آخرین مقالۀ خود را در 1875م در این خصوص منتشر ساخت. 
در 1892م كارا دو وو در مقالۀ مفصلی دربارۀ مجسطی بوزجانی، گزارشی مفصل از مباحثات فرهنگستان در این خصوص ارائه كرد (ص 456-445، 408-410). وی با استناد به مقدمۀ این كتاب، بر آن است كه شال درخصوص نوآوریهای این كتاب به اشتباه افتاده، زیرا بوزجانی در این كتاب تنها كوشیده است كه مجسطی بطلمیوس را به زبانی ساده‌تر و قابل فهم‌تر درآورد و مثلاً به جای شكل قطاع كه كاربردش مشكل بوده، از شكل مغنی یا ظلی بهره گیرد (ص 410-415).
او همچون بیو و مونک استنباط سدیو از دو واژۀ تثلیث و تسدیس را نادرست خواند. به نظر وی مسلمانان اختلاف دوم ماه را ــ كه یونانیان متوجه آن شده بودند ــ به دو مؤلفه تقسیم می‌كرده‌اند و آنچه بوزجانی اختلاف سوم ماه نامیده، در واقع همان مؤلفۀ دوم اختلاف دوم است كه یونانیان نیز بدان اشاره كرده بودند. كارا دو وو مقالۀ خود را با این عبارات به پایان برده است: «حق هر كس را به خود او واگذاریم؛ افتخار كشف واریاسیون به تمامی ‌از آن تیكوبراهه است. بطلمیوس یا پیشینیان او افتخار بیان نظریه‌ای را دارندكه از آنچه درباره آن می‌پندارند، درست‌تر است و نطفۀ واریاسیون در آن مشهود است. بوزجانی و هم‌وطنان او در این میان سهم چندانی ندارند و حداكثر سهم آنان این است كه رصدهای مكرر، ولی بی‌ثمری انجام داده‌اند كه برای تأیید علم مفید بوده است، نه برای پیشرفت آن» (ص 456-471).
با این همه، بحث در این باره به همین جا خاتمه نیافت. در 1893م نائو در مقاله‌ای تأكید كرد كه ابن عبری (ه‍ م) نیز به سومین نابرابری ماه اشاره كرده بوده است (ص 77-82). امروزه 
گرچه محققانِ تاریخ علم نظر كارا دو وو را پذیرفته‌اند (نک‍ : مثلاً سارتن، I / 666؛ یوشكویچ، «ابوالوفا...»، 42؛ پینگری، 393)، اما حتی در برخی از سایتهای معتبر مربوط به اخبار كرۀ ماه نیز بوزجانی كاشف واریاسیون نامیده شده است.