تثلیث زاویه

تَثْلیثِ زاویه، یکی از مسائل کهن ریاضی که موضوع آن بخش کردنِ زاویه به 3 قسمت مساوی است. در برخی از نوشته‌های دوران اسلامی در این موضوع، این مسئله با همین عنوانِ «تثلیث زاویه» و در برخی دیگر با عناوین دیگر نامیده شده است (نک‍ : دنبالۀ مقاله).
ریاضی‌دانان یونانی از دیرباز می‌دانستند که هر زاویه را می‌توان با استفاده از خط‌کش غیر مدرّج و پرگار به 2 بخش تقسیم کرد و تقسیم برخی از زوایای خاص به 3 بخش مساوی کاری شدنی است، اما می‌دانستند که این کار در حالت کلی عملی نیست. بطلمیوس (قرن 2م) تصریح کرده است که تثلیث زاویه به روشهای هندسی (یعنی با استفاده از خط‌کش و پرگار) عملی نیست. وی در مجسطی پس از اینکه وتر زاویۀ °5 / 1 را به روشهای هندسی محاسبه می‌کند، می‌نویسد: «اما اگر وتر کمانی، یعنی وتر کمان °5 / 1 داده شده باشد، وتر مربوط به کمانی را که یک‌سوم کمان پیشین باشد به روشهای هندسی نمی‌توان محاسبه کرد» (ص 54). به همین دلیل است که او برای محاسبۀ وتر نیم‌درجه به یک روش تقریبی متوسل می‌شود. 
 ریاضی‌دانان یونانی ترسیمات هندسی را برحسب نوع ابزارهایی‌که برای انجام دادن آنها لازم است،‌ به 3 دستۀ‌ «مسطح»، «مجسم» و «خطی» تقسیم می‌کردند. در این تقسیم‌ـ بندی ــ که‌‌ نخستین‌بار در «مجموعۀ ریاضیِ» پاپوس (ه‍ م، ‌قرن 4م) به ‌طور صریح ‌آمده ــ مسائل‌ مسطح ترسیمهایی است که تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار انجام گرفتنی است، حل مسائل مجسم مستلزم استفاده از مقاطع مخروطی است و در حل مسائل خطی استفاده از خواص منحنیهایی جز دایره و خط و مقـاطع مخروطـی لازم می‌آید (نک‍ : کنور، 85, 341-342، نیز 176-178). به نوشتۀ پاپوس، چون تثلیث زاویه یکی از مسائل مجسم است، این کار پیش از ابداع نظریۀ مقاطع مخروطی امکان‌پذیر نبوده است (نک‍ : همو، 85). به این اعتبار، نخستین کوششها در این زمینه به قرنهای4و 3ق‌م برمی‌گردد. اما به‌رغم گفتۀ پاپوس، شواهدی در دست است که حتى پیش از آن نیز، ریاضی‌دانان یونانی که هنوز مسائل مجسم و خطی را از هم تفکیک نمی‌کردند، راه حلهایی برای این مسئله، با استفاده از ابزارهای مکانیکی‌ای چون منحنی کوادراتریس و یا با استفاده از خواص مارپیچ به دست داده‌اند (همو، 84, 98، حاشیۀ 112).

در کتاب المأخوذات منسوب به ارشمیدس که تنها ترجمۀ عربی آن باقی مانده است و مورخان دست کم برخی از مطالب آن را از ارشمیدس می‌دانند (هیث، «آثار...»، مقدمه، 32)، مسئلۀ تثلیث زاویه به یک مسئلۀ «مَیل» تبدیل شده است. مسئله اجمالاً بدین صورت است: زاویۀ BAC مفروض است. به مرکز A دایره‌ای رسم می‌کنیم که اضلاع زاویه را در B و C قطع کند. هرگاه وتر CEF را طوری رسم کنیم که امتداد آن امتداد قطر AD را در F قطع کند، به‌طوری که داشته باشیم AE=EF، در این صورت زاویۀ EFD ثلث زاویۀ BAC خواهد بود (نصیرالدین، 11؛ کنور، 185-186). 
ترسیم وتر CEF با این ویژگی، با پرگار و خط‌کش غیرمدرج ممکن نیست. یک راه «مکانیکی» برای ترسیم چنین خطی این است که یک سر خط‌کشی را که برحسب اجزاء شعاع دایره مدرج شده باشد، در نقطۀ C لولا کنیم و خط‌کش را حول این نقطه طوری بچرخانیم که طول بخشی از آن که میان محیط دایره و امتداد قطر BD قرار می‌گیرد، مساوی شعاع دایره شود (سجزی، 345-347؛ ووپکه، 120، حاشیه). همچنین می‌توان، به جای مدرج کردن خط‌کش متحرک، تنها دو نقطۀ E و F را (به‌طوری که EF=AE باشد) روی آن مشخص کرد و آن‌گاه با چرخـاندن آن کاری کرد کـه نقطۀ F روی امتـداد BD و نقطۀ E روی دایـره قرار گیـرد. بـه اعتقـاد کنـور ــ که روش‌کتاب المأخوذاترا از ارشمیدس‌می‌داند ــ ارشمیدس‌کاربرد این روش را ــ هرچند مستلزم استفاده از خط‌کش مدرج است ــ در هندسه موجه می‌دانسته، و از آن در برخی دیگر از آثار خود، ازجمله در رسالۀ مارپیچ و نیز در رساله‌ای دربارۀ ترسیم هفت ضلعی منتظم ــ کـه آن نیز تنهـا از راه ترجمۀ عربـی‌اش به‌دست ما رسیده ــ استفاده کرده است (ص 185-187).

یونانیان زاویه را به روش دیگری هم تثلیث می‌کردند و آن استفاده از منحنی‌ای به نام کنکوئید بود. این منحنی از دَوَران خطی حول یک نقطۀ‌ثابت (نقطۀ D) به‌دست می‌آید، به‌طوری که طول EK (فاصلۀ یک انتهای خط از خط ثابت AB) مقدار ثابتی باشد. به‌‌روایت‌ پاپوس و پرُکلُس(ه‍ م، قرن5م) نیکومدس‌(قرن 3ق‌م)‌زاویه را به‌این‌روش تثلیث کرده است (نک‍ : «نیکومدس»، 114-116). 
در کنار این دو روش که اولی «مکانیکی» است و در دومی مسئلۀ تثلیث زاویه به عنوان یک مسئلۀ خطی (یعنی با استفاده از منحنی‌ای جز دایره و مقاطع مخروطی) حل می‌شود، پاپوس از روش سومی هم سخن می‌گوید که در آن مسئلۀ تثلیث زاویه به صورت مسئله‌ای مجسم و از راه تقاطع یک هذلولی و یک دایره حل می‌شود (نک‍ : هیث، «تاریخ... »، I / 236-237). 
ریاضی‌دانان دوران اسلامی که با راه حل ارشمیدس از طریق کتاب المأخوذات که در قرن 3ق / 9م به دست ثابت بن قرّه به عربی ترجمه شد، آشنا بودند، به مسئلۀ تثلیث زاویه توجه خاص داشتند، به‌ویژه که این توجه در زمانی بود که بر اثر ترجمۀ مخروطات آپولونیوس(نک‍ : ه‍ د،بنی‌موسى) استفاده‌ از مقاطع ‌مخروطی در شاخه‌های مختلف ریاضیات وسعت گرفته بود. شمار رساله‌های مفردی که در این موضوع از قرنهای 3-5ق / 9-11م باقی مانده، گواه عنایت ایشان به این مسئله و پیشرفتهایی است که در حل آن حاصل کرده‌اند.
 راه حلی که بنی موسى (اوایل قرن 3ق / 9م) در رساله‌ای به نام کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریه برای این مسئله به دست داده‌اند، روشی مکانیکی است. بنی موسى خود به مکانیکی بودن آن تصریح کرده، و حتى آن را نوعی چاره‌جویی (حیله) برای حل این مسئله دانسته‌اند (ص 133). این روش هرچند همچنان یک مسئلۀ میل است، اما در آن تثلیث زاویه به رسم خط CGEF منجر می‌شود، به‌طوری که امتداد آن از نقطۀ C بگذرد و طول قطعۀ GE که میان دایره و شعاع AN (عمود بر قطر BD) واقع می‌شود، مساوی با شعاع دایره باشد (بنی موسى جزئیات این کار را شرح داده‌اند). چنان‌که راشد تذکر داده است، نقطۀ G درواقع محل تقاطع یک کنکوئید با شعاع AN است («ریاضیات...»، I / 55).

گذشته از این راه حل، یکی از این 3 برادر، احمدبن موسی ابن شاکر، در رسالۀ جداگانه‌ای نیز به این مسئله پرداخته بوده است. این رساله از راه تحریر مختصری از آن که نویسندۀ دیگری فراهم آورده، به دست ما رسیده است و در آن مسئلۀ تثلیث زاویه به این مسئله تبدیل شده است: ترسیم خطی که از نقطۀ مفروضی بگذرد و طول بخشی از آن که بین دو خط معلوم واقع می‌شود، مقدار معینی باشد. این مسئله هم یک مسئلۀ میل است، ولی احمد آن را نه مستقیماً و به روش ارشمیدسی، بلکه از راه تقاطع دادن یک دایره و یک هذلولی متساوی‌الساقین حل کرده است (نک‍ : راشد، «هندسه...»، 551-553).
ثابت بن قره (211 یا 221- 288ق / 826 یا 836-901م)، شاگرد و پروردۀ بنی موسى، در دو رساله به نامهای فی عمل الموسطین و قسمة زاویة معلومة بثلاثة اقسام متساویه (نک‍ : همان، 555-563) و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویه (نک‍ : همان، 565-573) این مسئله را با دو «لِم» (قضیۀ فرعی) حل می‌کند. لم اول ترسیم هذلولی‌ای است که مجانبها و یک نقطه از آن داده شده باشد؛ لم دوم یک مسئلۀ میل است که با استناد به قضیه‌ای از مقالۀ دوم مخروطات آپولونیوس اثبات می‌شود. به این ترتیب، ثابت در این دو رساله راه حل مکانیکی را رها می‌کند و مسئلۀ تثلیث زاویه را با استفاده از مقاطع مخروطی حل می‌کند.
ابوجعفر‌خازن‌‌خراسانی (د میان‌سالهای 350-360ق / 961-971م) (قربانی،63) در رساله‌ای به‌نام قسمة‌الزاویة بثلاثة اقسام متساویة و استخراج خطین بین خطین تتوالی متناسبه (راشد، همان،575-585) دو راه حل هندسی (بطریق الهندسه) و مکانیکی (بطریق الآلة) را به‌صراحت از هم تفکیک کرده، و گفته است که پیش از ثابت کسی یک راه حل‌هندسیِ شدنی در این‌مورد عرضه‌نکرده بوده، و ابوبکر هروی هم از او گرفته‌است (ص‌585).
ابوسهل بیژن بن رستم کوهی، ریاضی‌دان بزرگ ایرانی (نیمۀ دوم قرن 4ق / 10م)، دست کم در 4 رساله از تثلیث زاویه بحث کرده است. او در رسالة فی استخراج الزاویة المعلومة بثلاثة اقسام متساویه ــ که برای ابوالفوارس بن عضدالدوله (حک‍ پس از 376ق / 986م) تألیف کرده است ــ نخست از 3 بخش کردن زاویۀ °90 سخن گفته، و آن‌گاه راه تثلیث زاویۀ غیرمشخص را بیـان کـرده اسـت. در راه‌ حـلِ او ــ کـه اسـاسـاً با راه حلهای پیشینیان متفاوت است ــ تثلیث زاویه به این مسئله تبدیل می‌شود: یافتن نقطه‌ای در روی یک هذلولی که فاصلۀ آن از رأس هذلولی مساوی با مقدار قطر مایل هذلولی باشد (نک‍ : راشد، همان، 370-373). کوهی این مسئله را از راه تقاطع یک هذلولی و یک دایره حل می‌کند و در هر مورد هم تحلیل و هم ترکیب مسئله را می‌آورد (نک‍ : ه‍ د، تحلیل و ترکیب). وی روش خود را «آسان‌تر و بهتر از روش قدما» می‌داند (ص 494-495). او همین روش را در رسالۀ دیگری به نام فی قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویه (نک‍ : راشد، همان، 505-507) به اختصار بیان کرده است. کوهی در رسالۀ دیگری به نام فی تثلیث الزاویة و عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائره، میان تثلیث زاویه و ترسیم ضلع هفت ضلعی منتظم ارتباطی برقرار کرده است و در رسالۀ چهارمی به نام فی استخراج خطین بین خطین حتى تتوالی الاربعة علی نسبة و قسمة الزاویة بثلاثة اقسام متساویه (نک‍ : همان، 509-513) این دو مسئله را به همان روش پاپوس و ثابت بن قره حل کرده است.
از ابوسعید احمدبن عبدالجلیل سجزی، ریاضی‌دان ایرانی (قرن 4ق / 10م) 3 رساله در تثلیث زاویه باقی مانده است. او در رسالۀ اول که فی قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویه نام دارد (نک‍ : راشد، «آثار...»، 333-385)، از تاریخچۀ تثلیث زاویه سخن می‌گوید و می‌نویسد که قدما این مسئله را از راه تحلیل (نک‍ : ه‍ د، تحلیل و ترکیب) به قضایای فرعی (مقدمات) تبدیل کرده‌اند. وی به تفصیل 9 مقدمه (یا روش تثلیث زاویه) را بررسی می‌کند که به ترتیب عبارت‌اند از روشهای ثابت بن قره (ص 337)؛ ابوسهل کوهی (ص 337- 339)؛ ابوالحسن شمسی هروی (ص 339-341)؛ ابوریحان بیرونی (3 روش) (ص 341-345، سجزی از ابوریحان که معاصر او، و جوان‌تر از او بوده، با عبارت «ایده الله تعالى» یاد می‌کند)؛ ابوحامد صاغانی (ص 345)؛ یکی از قدما (ص 347، این روش همان روش ارشمیدسی است و سجزی آن را روش «خط‌کش و هندسۀ متحرک» نام داده است)؛ و روشی دیگر (ص 349). سجزی آن‌گاه روش ابداعی خود را ذکر می‌کند (ص 349-351) و سپس قضیه‌ای را ثابت می‌کند (ص 351-353) که با استفاده از آن همۀ راه حلهای دیگران را می‌توان اثبات کرد (ص 355-369). سجزی در ضمیمه‌ای که به عنوان «ملحق» به این رساله افزوده است، 5 قضیه را که ابوریحان بیرونی برای حل مسئلۀ تثلیث زاویه به کار برده، ولی اثباتشان نکرده است، به طریقهای تحلیل و ترکیب اثبات می‌کند (ص 369-385). رسالۀ دوم سجزی که فی عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویه نام دارد (نک‍ : راشد، همان، 397-419)، عمدتاً ردی است بر روش ابوالجود در رسم هفت ضلعی منتظم (همو، «ریاضیات»، III / 341-342) و در آخر آن سجزی راه‌حلی را که در فی قسمة ‌الزاویة‌ المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویه برای تثلیث زاویه آورده است، ذکر می‌کند. راه‌حلی که سجزی در رسالۀ سوم، استخراج الموسطین و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة بطریق الهندسه آورده، همان راه ‌حل ثابت ‌بن قره ‌است (نک‍ : راشد،«آثار»، 393-395).
در نوشته‌های کوهی و سجزی، و به‌ویژه در رسالۀ اول سجزی، تمایلی که از همان آغاز در آثار ریاضی‌دانان اسلامی وجود داشت، به آشکارترین صورت خود دیده می‌شود. این تمایل عبارت است از جایگزین کردن روشهای مبتنی بر هندسۀ متحرک و روشهای مکانیکی با برهانهای مبتنی بر خواص مقاطع مخروطی (همان، 122)، زیرا هرچند ریاضی‌دانان یونانی، از جمله پاپوس، از مقاطع مخروطی در حل این مسئله استفاده کرده‌اند، اما در آثار ایشان این کار نه عمومیت داشته است، نه ضرورت (همان، 119).
ریاضی‌دانان دوران اسلامی هرچند، مانند یونانیان، غالباً مسئلۀ تثلیث زاویه را به یک مسئلۀ میل تبدیل می‌کنند، اما، برخلاف ایشان، در این مرحله متوقف نمی‌مانند و می‌کوشند تا این مسئله را از راه استفاده از مقاطع مخروطی حل کنند. این کار از یک‌سو، باعث می‌شود که رابطه‌ای که میان این مسئله و مسائل مجسم دیگر، مانند رسم ضلع هفت ضلعی منتظم و درج دو واسطه در میان دو طول معلوم وجود دارد، آشکار شود و از سوی دیگر، استفاده از مقاطع مخروطی به عنوان تنها راه مجاز برای حل مسائل مجسم جا بیفتد. در اواخر قرن 4ق / 10م، ابونصر منصوربن عراق (ه‍ م) مسئلۀ ترسیم ضلع هفت‌ضلعی منتظم را به زبان جبری برگردانده، و آن را به معادله‌ای از درجۀ سوم به صورت x3+ax2=b تبدیل کرده بود (نک‍ : خیام، 255). حل مسئلۀ تثلیث زاویه با استفاده از مقاطع مخروطی نیز نشان می‌داد که این مسئله با معادلات درجۀ سوم ارتباط دارد و این نکته را ابوالجود محمدبن لیث در نامه‌ای به بیرونی متذکر شده است: «باید بدانی که زاویه با کمک مقدمات کتاب اصول [ اقلیدس] به 3 بخش مساوی تقسیم نمی‌شود، وگر نه، تعیین وتر یک‌سوم آن به شیوۀ عددی، یعنی به صورت یک عدد گویا و یا یکی از اعـداد گنگـی که در آن کتـاب ذکر شـده است، ممکن می‌بود. در واقع، زاویه با استفاده از چند قضیه و با استفاده از هذلولی و بر مبنای کتاب مخروطات[ به 3 بخش] تقسیم می‌شود. بنابراین، مقدار وتر آن تنها در صورتی معلوم می‌شود که ضلع مکعب با دقت معلوم شود» (نک‍ : ووپکه، 125-127؛ راشد، «آثار»، 120؛ قربانی، 71). در واقع نیز، ابوالجود در همان نامه می‌نویسد که وی در کتاب خود موسوم به فی الهندسیات، راه حلی جبری برای ترسیم 9 ضلعی منتظم به دست داده بوده است. این مسئله حالت خاصی است از تثلیث زاویه (یعنی تقسیم زاویۀ °120 به 3 بخـش مساوی) و راه جبـری آن ــ چنان‌که ابوالجود گفته ــ حل معادلۀ x3+1=3x است (راشد، همان، 120-121).
پس از قرن 5ق / 11م پژوهش در تثلیث زاویه در دنیای اسلام رو به سستی نهاد، اما کوشش برای حل جبری این مسئله ادامه یافت و اوج آن در رسالۀ وتر و جیب غیاث‌الدین جمشید کاشانی (د 832ق / 1429م) است. در این رساله که وی از بابت تألیـف آن بر خـود می‌بالد (ص 37)، اما اصـل آن از بین رفته، و تنها محتوای آن از راه شرح میرم چلبی و تحریر قاضی‌زادۀ رومی و شرح ملاعلی بیرجندی بر زیج الغ‌بیگ به دست ما رسیده، غیاث‌الدین جمشید کاشانی سینوس زاویۀ °1 را بر حسب سینوس زاویۀ °3 از راه حل معادلۀ درجۀ سومی به صورت x3+p=qx محاسبه کرده است.

مآخذ

 ابوجعفر خازن، محمد، «قسمة الزاویة بثلاثة اقسام متساویة و استخراج خطین بین خطین تتوالی متناسبة»، «هندسه» (نک‍ ‍‍‍‍: مل‍ ، راشد)؛ بنی موسى، «کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة والکریة»، «ریاضیات...»، ج I (نک‍ ‍: مل‍ ، راشد)؛ خیام، «فی قسمة ربع الدائرة»، «خیام ریاضی‌دان» (نک‍ : مل‍ ، راشد و وهاب‌زاده)؛ سجزی، احمد، «فی قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة»، «آثار ریاضی سجزی»، (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش نادر نابلسی، دمشق، 1397ق؛ قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، 1365ش؛ کوهی، بیژن، «استخراج الزاویة المعلومة بثلاثة اقسام متساویة»، «هندسه» (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ نصیرالدین طوسی، «تحریر کتاب المأخوذات»، الرسائل، حیدرآباد دکن، 1359ق؛ نیز:

Heath, T. L., A History of Greek Mathematics, Oxford, 1921; id, The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; Knorr, W. R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, New York, 1986; «Nicomedes», Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1974; Ptolemy, Almagest, tr. G. J. Toomer, London, 1984; Rashed, R., Geometry and Dioptrics in Classical Islam, London, 2005; id, Les Mathématiques infinitésimales du IX^e au XI^e siècle, London, 1996; id, Œuvre mathématique d’al-Sijzī, Paris, 2004, vol. I; id and B. Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématicien, Paris, 1999; Woepcke, F., L’Algèbre d’Omar al-Khayyāmī, Paris , 1851 . 
حسین معصومی همدانی