تضعیف و تنصیف

تَضْعیفْ وَ تَنْصیف، دو برابر کردن و نصف کردن. این دو عمل گرچه حالات خاصی از ضرب (یا جمع) و تقسیم‌اند، اما ظاهراً در ادامۀ سنتی کهن که از ریاضیات مصری نشأت می‌گرفت، در آثار ریاضی دورۀ اسلامی، غالباً به عنوان دو عمل حسابی مستقل یاد شده‌اند. مصریان باستان عمل ضرب دو عدد دلخواه را با تضعیف پی‌درپی یکی از دو عامل ضرب و تنصیف عامل دیگر انجام می‌دادند (برای تفصیل بیشتر این روش، نک‍ : قربانی، نسوی نامه، 43-45). در کامپیوترهای دیجیتال کنونی که همۀ محاسبات در مبنای 2 انجام می‌شود، همین روش باستانی در ضرب اعداد به کار می‌رود. 
خوارزمی در کتاب الجمع و التفریق این دو عمل را پس از جمع و تفریق و پیش از ضرب و تقسیم یاد کرده است (نک‍ : همانجا، نیز ریاضی‌دانان...، 12) و بسیاری دیگر از ریاضی‌دانان دورۀ‌ اسلامی از همین ترتیب پیروی کرده‌اند (مثلاً طبری، شمارنامه، ‌11-14، مفتاح...، 23). اقلیدسی (ص 57-59) و غیاث‌الدین جمشید کاشانی (ص50-51)، این دو عمل را پیش از 4 عمل اصلـی حساب آورده‌اند (بـرای ترتیبهای دیگر ذکر این 6 عمل، نک‍ : نسوی، بابهای 2-10؛ شیخ بهایی، فصلهای 1-2: تضعیف را نوعی جمع دانسته، و تنصیف را پس از جمع و پیش از تفریق یاد کرده است). اما کوشیار گیلانی تضعیف و تنصیف را حالات خاص جمع و تفریق دانسته است (ص58-59). سنت مستقل انگاشتن تضعیف و تنصیف به واسطۀ ترجمۀ لاتینی آثاری چون الجمع و التفریق خوارزمی و دیگر آثار دورۀ اسلامی، به کتابهای حساب اروپایی نیز سرایت کرده است (قربانی، نسوی‌نامه، 42).
روش غیاث‌الدین جمشید برای تضعیف اعداد صحیح چنین است: از نخستین رقم سمت راست عدد شروع می‌کنیم. ارقام هر مرتبه را در دو ضرب می‌کنیم. اگر حاصل کمتر از 10 شد، خود آن را در زیر همان رقم می‌نویسیم و اگر بیش از 10 شد، یکان حاصل را در زیر همان رقم می‌نویسیم و «دهِ باقی مانده را» «یک» فرض می‌کنیم و در ذهن نگه می‌داریم تا به مرتبۀ بالاتر اضافه کنیم («ده بر یک» کردن) و به همین روش ادامه می‌دهیم تا همۀ ارقام دو برابر شوند. روش تنصیف نیز چنین است: برای این کار باید از رقم سمت چپ شروع کنیم و به ترتیب هر یک از آنها را نصف کرده و زیر آن بنویسیم و اگر رقمی فرد بود، یکی از آن کم می‌کنیم و در عوض به نصف رقم سمت راست آن 5 واحد می‌افزاییم و کار را ادامه می‌دهیم تا به مرتبۀ یکان برسیم (همانجا؛ نیز کرامتی، 48).

مآخذ

اقلیدسی، احمد، الفصول فی حساب الهندی، به کوشش احمد سلیم سعیدان، حلب، 1405ق/ 1985م؛ شیخ بهایی، محمد، خلاصة الحساب، چ سنگی؛ طبری، محمد بن ایوب، شمار نامه، به کوشش تقی بینش، تهران، 1345ش؛ همو، مفتاح المعاملات، به کوشش محمد امین ریاحی، تهران، 1349ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش نادر نابلسی، دمشق، 1397ق/ 1977م؛ قربانی، ابوالقاسم، ریاضی‌دانان ایرانی، از خوارزمی تا ابن سینا، تهران، 1350ش؛ همو، نسوی‌نامه، تهران، 1351ش؛ کرامتی، یونس، در قلمرو ریاضیات، تهران، 1381ش؛ کوشیار گیلانی، «اصول حساب الهند»، به کوشش احمد سلیم سعیدان، مجلة معهد المخطوطات العربیة، قاهره، 1387ق/ 1967م، ج 13 (1)؛ نسوی، علی، «المقنع فی حساب الهندی»، تصویر نسخۀ خطی شم‍ 1021 کتابخانۀ لیدن، ضمیمۀ نسوی‌نامه (نک‍ : هم‍ ، قربانی). 

یونس کرامتی