ریاضیات

ریاضیّات، یکی از شاخه‌های دانش بشری که بنابر تعریف کهن، دانش بررسی کمیتهای گسسته و پیوسته بوده است و به همین مناسبت، چنان‌که خواهد آمد، 4 شاخۀ اصلی حساب، هندسه، نجوم و موسیقی، و چندین شاخۀ فرعی دیگر را در بر می‌گرفته است. در نوشتار حاضر، دربارۀ نجوم و موسیقی (ه‍ م م) ــ باآنکه در همۀ طبقه‌بندیهای کهن دانشها در شمار شاخه‌های اصلی ریاضیـات آمده‌اند ــ و نیـز دربارۀ شاخه‌هایی فرعی چـون علم الحیل (ه‍ م) و علم المناظر (ه‍ م)، تنها در بخش نخست مقاله (مربوط به طبقه‌بندی دانشها) سخن به میان خواهد آمد.

I. ریاضیات به‌عنوان مجموعه‌ای از دانشها

دربارۀ کاربرد واژه‌های μαθήματα و μαθηματικός، ریشۀ واژه‌های mathematics، mathematician، mathematical و مانند آن، به معنی خاص ریاضیات، ریاضی‌دان یا چیزهایی مربوط به ریاضیات تا پیش از روزگار ارسطو (‏384‏-322 ق‌م) تردید‌هایی وجود دارد (هیث، I/ 10).
افلاطون (429 -347 ق‌م) در جمهوری گرچه برنامۀ آموزشی دلخواه خود را دربرگیرندۀ حساب، هندسه یا دانش سطحها در ایستایی، دانش حجمها [در ایستایی] (دربارۀ جداسازی دانش حجمهـا از هندسه، نک‍ : دنبالۀ مقاله)، نجـوم و موسیقـی شناسانده (VII/ 522D-532A)، اما برای مجموعۀ آنها نامی به کار نبرده است (نک‍ : دنبالۀ مقاله). به گمان هیث، واژۀ μάθημα نزد افلاطون بسیار کلی، و به معنای هر موضوع آموزشی یا پژوهشی است. پاسخ افلاطون در جمهوری به پرسش «بزرگ‌ترین μαθήματα چیست؟» (البته از زبان سقراط) چنین است: «ایدۀ خوب» (VI/ 505A). همو در قوانین (VII/ 817E) با کنارگذاشتن موسیقی، عبارت τρία μαθήματα را به معنی «3 موضوع آموزش» به کار برده است که مردان آزاد باید بیاموزند: 1. شمار و ارثماطیقی؛ 2. هنر اندازه‌گیری طول، سطح و حجم (این ‌بار از هندسه که نزد او فقط مربوط به سطحها ست <نک‍ : دنبالۀ مقاله> نام نبرده است)؛ 3. نجوم. اما این به‌کارگیری «درس» در معنای خاص مربوط به شاخه‌های ریاضیات، از جایگاه والای ریاضیات در برنامۀ درسی مورد پسند افلاطون تأثیر گرفته است (هیث، همانجا). تئون ازمیری (د ح 135 م)، در دیباچۀ «ریاضیات سودمند برای فهم افلاطون»، بی‌گمان با درنظرداشتن برنامۀ درسی یادشده در جمهوری، آورده است که افلاطون پالایش خویشتن را در گرو «5» دانش ریاضی یعنی حساب، هندسه (= هندسۀ مسطحه)، سنجش حجمها، موسیقی و نجوم دانسته (ص 9)، و بدین‌سان، برخلاف افلاطون و قاعدتاً به پیـروی از آموزه‌های فیثاغـوری (نک‍ : دنبالۀ مقاله)، ایـن مجموعه را «ریاضیات» نامیده است (دربارۀ تأثیرپذیری افلاطون از فیثـاغـوریـان، نک‍ : ژمـود، «آمـوزه ... »، 323-344؛ هـوفمـان، «افلاطون ... »، 237-270).
مشائیان بر آن بودند که برخلاف موضوعاتی چون بلاغت و شعر، که حتى مردم آموزش‌ندیده نیز می‌توانند آن را درک کنند، موضوعاتی که به‌طور خاص μαθήματα نامیده می‌شوند، برای آموزش‌ندیدگان دریافتنی نیست و از اینجا نتیجه گرفتند که به همین دلیل، این پژوهشها μαθηματική نامیده شده‌اند (هیث، همانجا).
کاربرد خاص واژۀ μαθηματική گویا به مکتب فیثاغورس بازمی‌گردد. به گزارش یامبلیخوس (ح 242-325 م) در «زیست فیثاغوری» یـا «زندگی فیثاغورس»، پیوستگان حلقۀ درونی این مکتب ــ آنان‌ که اهل عمل و نظر هر دو باهم بودند ــ μαθηματικοί / آموزندگان / «تعلیمیها» و دیگـر اعضا ــ که تنها به قواعد عملی می‌پـرداختنـد ــ άκουσματικοί / شنـوندگـان نـامیده می‌شدنـد (xviii/ 81, 87-88، نیـز نک‍ : «دانش عمومی ... »، XXV/ 76.16- 77.24). به گزارش فرفوریوس (ح 234-305 م)، «ریاضی‌دان»‌ها گفتمان عالی علمی را به‌طور کامل آموخته، و تا ریزترین جزئیات کار کرده بودند، اما آکوسماتیکها تنها به‌طور خلاصه، احکام برگرفته از نوشته‌ها را بدون هیچ توضیحی دقیق‌تر شنیده بودند (نک‍ : بند 37؛ نیز کُرنلی، «فیثاغـورگرایی ... »، 12-14). با توجه به اینکه بیشتر فلسفۀ فیثاغورس ریاضیات بود، چه‌‌بسا همین اصطلاح برای موضوعات ریاضی نیز به کار رفته باشد تا از دیگر موضوعات متمایز شود (بـرای تفصیل، نک‍ : بـورکرت، 187-202؛ ژمود، «فیثاغورس ... »، 169-205، «دانش ... »، 93-104؛ کُرنلی، «در جست‌وجوی ... »، 77-83). نگارندۀ ناشناس اثری مشابـه کتـاب یامبلیخـوس (نک‍ : تسلف، «درآمد ... »، 27) از درجه‌بندی مفصل‌تری خبر داده است: «1. ارجمندان که خود را وقف مطالعات نظری کرده‌اند؛ 2. سیاست‌مداران که خود را وقف زندگی انسانها کرده‌اند؛ 3. ریاضی‌دانان که خود را وقف هندسه و نجوم کرده‌اند؛ 4. شاگردان مستقیم فیثاغورس ... » (کرنلی، همان، 77؛ متن یونانی در تسلف، «متون فیثاغوری ... »، 237)؛ همچنین به گزارش آناتولیوس، پیروان فیثاغورس، μαθηματική را به‌ویژه برای دو موضوع هندسه و حساب به کار می‌بردند، که قبلاً تنها با نامهای جداگانۀ خود شناخته می‌شدند و نه با نامی مشترک که هر دو را پوشش دهد (هیث، I/ 10-11). 
آرخوتاس تارنتومی (شکوفایی ح 375 ق‌م)، دانشمند فیثاغوری و معاصر و دوست افلاطون، در کتاب خود دربارۀ هارمونیها، و هنگام بحث دربارۀ فیزیک صوت، که به‌واسطۀ المدخل الى علم العدد/ الارثماطیقی نیکوماخوس (ح 60-120 م) و شرح فرفوریوس بر هارمونیکای بطلمیوس بر جای مانده، واژۀ μαθήματα را برای «موضوعات ریاضی» به کار برده است (نقل قول برپایۀ ترجمۀ دیلس و کرانتس از روی شرح فرفوریوس، I/ 431-432 و نیکوماخوس، I/ iii؛ قس: ترجمۀ هوفمان، «آرخوتاس تارنتومی ... »، 105-106، از همان متن؛ نیز قس: نیکوماخوس، ترجمۀ عربی ثابت بن قره، 14، «ارحوطس الذی من بلاد طرنطس» و با تصرفاتی چند هنگام ترجمه: «به نظر من ریاضی‌دانان» (در ترجمۀ هوفمان، همان، 105: دل‌بستگان دانش؛ در ترجمۀ ثابت بن قره به‌صورت اول شخص: «ما»!)، به بینشی بسیار درست دست یافته‌اند و هیچ شگفت نیست که آنها دریافتی درست از چیستیِ هرچیز داشته باشند؛ زیرا در پرتو دستیابی به دانشی بسیار خوب دربارۀ چیستی گیتی، چیستی چیزهای خاص را نیز با جزئیات می‌بینند. بنابراین آنها بینشی روشن از سرعت ستارگان و طلوع و غروب آنها، هندسه، اعداد (حساب)، افلاک (= نجوم) و سرانجام موسیقی به ما داده‌اند (در ترجمۀ ثابت بن قره با ازقلم‌افتادن موسیقی: علم الهندسة و العدد و الکرة). زیرا چنین می‌نماید که این دانشها با هم مرتبط‌اند (نیکوماخوس: با هم خواهرند؛ ترجمۀ ثابت: و هذه الاربع طبایع تظن انها اخوات بعضها لبعض). چه آنها با دو گونه موجود مرتبط با یکدیگر [یعنی شمار و اندازه] سروکار دارنـد (نیـز نک‍ : هیـث، I/ 11؛ هوفمـان، همـان، 103-105؛ ژمـود، «خاستگاه ... »، 62-63، نیز برای دیدگاههای دیگر دربارۀ خاستگاه 4 شاخۀ ریاضیات، نک‍ : 63-64). 
نیکوماخوس افزون‌براین، گویا برای نخستین بار، برای تقسیم دانشهای ریاضی به 4 شاخه، دلیلی فلسفی براساس موضوع مشترک آنها یعنی «چندی» / کمّ / کمیت یاد کرده است (اصطلاحات عربی میان () از ترجمۀ ثابت نقل شده است). او یادآور شده است که چندی یـا پیوستـه (متصل) است یـا گسسته (منفصل)، کمّ متصل پیمودنی است و اندازه (ذوات عظم و ذوات قدر) نامیده می‌شود. کمّ منفصل نیز شمردنی است و شمار/ عدد (ذوات العدد و ذوات الکثرة) نامیده می‌شود (قس: مِرْلَن، 89: کاربرد جابه‌جای اصلاحات یونانی). دانش آگاهی از مجموع این دو نوع، یعنی شمار و اندازه (عدد و مقدار) حکمت است. این هر دو متناهی‌اند ... و اساساً علم و ادراک نیـز تنها دربـارۀ چیزهـای متناهـی دستیاب است ... (نیکوماخوس، I/ ii، ترجمۀ عربی، 13). بعضی از «چندی»ها به‌خودی‌خود (منفرد) دریافته می‌شوند بی‌آنکه به چندی دیگر اضافه یا با آن قیاس شوند و بعضی، تنها از راه اضافه‌شدن به/ قیاس با چندی دیگر، دریافته می‌شوند، مانند «دوچندان» (ضِعف)، «مانند» (مثل) «نیم‌چند» (نصف)، و مانند اینها. دانش پردازنده به چندیهای گسستۀ به‌خودی‌خود (على سبیل الانفراد) حساب (علم عدد) است و با موسیقی نیز نسبت میان چندیهای گسسته دانسته می‌شود. همچنین اندازه یا ایستا (الذی لا یتحرک) است یا پویا و چرخان (المتحرک الذی یدور). دو دانش دیگر نیز به همین ترتیب اندازه را بررسی خواهند کرد: هندسهْ اندازه را در ایستایی، و نجومْ (علم الکرة) اندازه را در پویایی. پس بی‌ یاری این دانشها نمی‌توان چنـان‌که بایـد موجودات را شناخـت و حقیقت را ــ در چیزهـایی کـه معرفت بـه آنها حکمت است ــ کشف کـرد و آشکـارا حتـى «فلسفه‌ورزی درست» (التفلسف الصحیح) نیز ناشدنی است. زیرا همچنان‌که آندروکیدس فیثاغوری (اندروقودس الذی من شیعة فوثاغورس؛ روزگارش پیش از سدۀ 1 ق‌م) آورده است: «همچنان‌که صناعت نقاشی صناعات فروتر را در اصلاح نظر یاری می‌رساند، دانستن حقیقت خطوط، اعداد، گامهای هارمونیک، گردش فلک نیز به یادگیری آموزه‌های حکمت کمک می‌کند» (نک‍ : همو، I/ iii، نیز ترجمۀ عربی، 13-14؛ دربارۀ پیروی کندی از این دیدگاه، نک‍ : دنبالۀ مقاله).
دیدگاه یامبلیخوس در «دانش عمومی ریاضیات» (= مقالۀ سوم از کتـاب مفصل یامبلیخوس دربـارۀ فیثاغوریان؛ در این‌ باره، نک‍ : اُمیرا، 32) در این ارتباط، چکیدۀ دیدگاه نیکوماخوس است و همچون او سخنان آرخوتاس و افلاطون را نیز نقل کرده است (VII/ 5-6, 30-32؛ نیز امیرا، 44-45). در کتاب «الٰهیات حساب» (دربارۀ نشانه‌پردازیهای عرفانی، ریاضی و کیهانی اعداد 1 تا 10 و گویا به‌غلط) منسوب به یامبلیخوس، رسیدن به «چهارگانه»، مرحلۀ تکامل هرچیز در جهان است. درک حقیقت چیزها و دستیابی به معرفت علمی مطمئن و مصون از خطا نیز از راه چهارگانۀ ریاضیات ممکن است؛ زیرا همۀ چیزها موضوع چندی‌اند، چه پیوسته و چه گسسته و چه به‌خودی‌خود و چه به نسبت. حسابْ دانش عدد به‌طور اعم، و عدد به‌خودی‌خود به‌طور اخصّ است، و موسیقیْ دانش نسبت میان عددها، هندسهْ دانش اندازه‌ها به‌طور اعم و اندازه‌ها در ایستایی به‌طور اخص و نجومْ دانش اندازه‌ها در پویایی است (ص 55). در اینجا موضوع حساب و هندسه گسترده‌تر در نظر گرفته شده است.
پرُکْلُس (412- 485 م؛ در دوران اسلامی: برقلس یا به گفتۀ ابن‌ندیم، 252: دیدوخس برقلس = پرکلس جانشین)، فیلسوف نوافلاطونی، در دیباچۀ شرح مفصل خود بر مقالۀ نخست اصول اقلیدس آورده است: همۀ دانشهای ریاضی در نزد فیثاغوریان 4 بخش است؛ نیمی مرتبط به شمار و نیمی دیگر مرتبط به اندازه ... (کمابیش همان سخنان نیکوماخوس تکرار شده است). پرکلس سپس برپایۀ سخنان افلاطون در تیمائوس (35A) بر آن است که صانع روح را از وحدت، کثرت، سکون و حرکت پدید آورد. از وحـدت در عین کثـرت اعداد و حساب برآمد و پس از آنکه این اعداد ــ چنان‌که افلاطون توضیح داده است ــ با نسبتها مرتبط شدند، موسیقی برآمد. پس حساب زودتر از موسیقی پدید آمد. سپس هندسه برآمد و پس از آن نیز نجوم برآمد؛ زیرا ایستایی نیز مقـدم بـر پویایی است (ص 29-31؛ نیـز نک‍ : مِرلَـن، 11-31, 88).

در دیباچه‌های دانشمندان اسکندرانی بر آثار ارسطو (و البته فرفوریوس)، هنگام یادکرد جایگاه ریاضیات در طبقه‌بندی دانشها، استدلالی همچون استدلال نیکوماخوس یاد شده است که نشان از بهره‌گیری آنان از نیکوماخوس، مستقیم یا به‌واسطۀ پرکلس، یا بهره‌گیری همۀ آنان از منبعی ناشناخته و کهن‌تر دارد؛ اما تفاوت گزارش نیکوماخوس و پرکلس با آنان در اشارۀ آشکار به نقش فیثاغوریان در «درنظرگرفتن این 4 دانش در مجموعه‌ای با نام مشخص» است. پرکلس در ادامه، تقسیم‌بندی دیگری از ریاضیات را با یادکرد گمینوس (فعال در ح 70 م)، و برشمردن شاخه‌های آن یاد کرده است (ص 31-35؛ نک‍ : همین مقاله، III. جایگاه ریاضیات و شاخه‌های آن در طبقه‌بندی دانشها).
دانشوران دورۀ اسلامی پس از آشنایی با این مجموعه از علوم از راه سنت مشائی و نیز نوافلاطونی، آن را گاه «علم تعالیم» (بیشتر در آثار کهن‌تر یا دارای زمینۀ فلسفی)، و بیشتر «علم ریاضی» یا «ریاضیات» نامیده‌اند (بـرای شواهد، نک‍ : سراسر مقالـه). درواقع، واژۀ تعلیمْ ترجمۀ تحت‌اللفظی μάθημα بود و همچون آن هم به معنی عام آموزه (= معنی اصلی) و هم به معنی خاص (اصطلاحی) آموزۀ ریاضی به کار می‌رفته است. ابن‌بهریز در حدود المنطق مجموعۀ چهارگانۀ ریاضیات را «علم الادب» نامیده است (ص 111-112). ازآنجا‌که یکی از معانی «ادب» نیز مطلق آموزه/ آموزش است، چه‌بسا او واژۀ μάθημα را با توجه به معنای عام آن، و احتمالاً به‌واسطۀ ترجمه‌ای سریانی (نک‍ : همین مقاله، .V الف ـ فیثاغوریان) به‌صورت تحت‌اللفظی به «علم الادب» ترجمه کرده باشد.
در قطعه‌ای بی‌نام از آثار قسطا بن لوقا، وجه تسمیه‌ای شایان درنگ برای واژۀ «ریاضیات» آمده است. به نظر قسطا، شاخه‌های چهارگانه را از آن روی «ریاضیات» نامیده‌اند کـه مردمان را در چیزهای متوسط میان «چیزهای دارای جسم و جدا از جسم» ورزیده می‌سازد تا از مادیات و محسوسات به چیزهایی برساند که جسم نیستند و تنها با عقل و نه با حواس دریافت می‌شوند (ص 110). اشاره به جایگاه میانجی ریاضیات میان طبیعیات و الٰهیات و نیز ورزیدگی ذهن با مطالعۀ آن در آثار بسیاری از دانشوران اسکندرانی (ازجمله: الیـاس، 50؛ داوود، 143، هر دو بـا تشبیه ریاضیات به پلی میان این دو، یا نردبانی برای برآمدن از طبیعیات به الٰهیات) و دورۀ اسلامی و ازجمله کندی («المصوتات ... »، 84: العلم الاوسط الذی یتسبّل الى علم ما فوقه و ما تحته) یافت می‌شود. گویا قسطا در این قطعه، از واژگان آثار کندی، به‌ویژه «کمیة کتب ارسطوطالیس ... » (جم‍ ‍؛ نک‍ : دنبالۀ مقاله) تأثیر پذیرفته، و درخور درنگ آنکه کندی در این رساله همواره از «الریاضات» و نه «الریاضیات» یاد کرده است (همان، 364، 369، 370، 373، 378). ابن‌ندیم (ص 255-256) نیز در عنوان دو اثر فلسفی کندی، «الریاضات» آورده است؛ که اینها نیز می‌تواند اشاره به ورزیدگی ذهن با این علوم برای یادگیری فلسفه باشد (دربارۀ دیدگاه دوگانۀ کندی دربارۀ هنگام آموزش ریاضیات، نک‍ : دنبالۀ مقاله).

II. جایگاه ریاضیات در برنامه‌های آموزشی

افلاطون در جمهوری از قول سقراط بارها یادآور شده است که تنها دانشهایی شایستۀ آموختن‌اند که ذهن را توانمند، و آدمی را به سوی اندیشه و شناخت خردمندانه و سرانجامْ «حقیقت» رهنمون سازند و روح آدمـی را وادارند تـا متوجه جهان برین شـود (نک‍ : VII/ 523A, 524E, 525B, 526E, 530C، نیز جم‍ ). او با این دیدگاه حساب، هندسه، نجوم و موسیقی را نخستین چیزهایی به شمار آورده است که نگاهبانان جامعه، یعنی فیلسوفان و سپاهیان، باید بیاموزند (VII/ 522D-532A). حسابْ روح آدمی را وامی‌دارد تا به جهان برین روی کند و از اعداد مجرد سخن گوید و اجازه نمی‌دهد آدمی آنها را با محسوسات پیوند زنـد (VII/ 525D) ... و به‌واسطۀ تجرد موضوع آن (اعداد) از ماده، روح آدمی را وامی‌دارد تا برای دستیابی به حقیقت از تفکر مجرد یاری جوید (VII/ 526B). پس باید بهترینها را به آموختن آن واداشت (VII/ 526C). هندسه در جایگاه دوم است. منظور از پرداختن به آن شناسایی آن هستی بی‌تغییر است و نباید از یادگیری آن غافل شد؛ به‌ویژه از‌آن‌روی که آن که هندسه بداند، دانشهای دیگر را زودتر از آنان ‌که هندسه نمی‌دانند فرامی‌گیرد (VII/ 527B-527D). هندسه نزد افلاطون تنها هندسۀ مسطحه است، زیرا او بر آن است که نمی‌توان به‌ناگاه از دانش «سطحها» [ی ایستا] به دانش حجمهای پویا پرداخت و در این میانه باید دانشی را فراگرفت که به حجمها [در ایستایی] می‌پردازد؛ امـا ایـن دانش بـه‌دلیل بی‌توجهی فرمانروایان هنـوز پدید نیامـده است (VII/ 528D-528E). سپس نوبت نجوم است که موضوع آنْ حرکاتی است که با چشم می‌توان دید (VII/ 529A-530C). سپس باید به دانشی پرداخت که موضوع آنْ حرکاتی است که به‌صورت آواهای هماهنگ پدیدار می‌شوند و با گوش می‌توان شنید، یعنی موسیقی. به همین سبب، پیروان فیثاغورس نجوم و موسیقی را خویشاوند یکدیگر شمرده‌اند و افلاطون نیز با آنان هم‌داستان است (VII/ 529C-532A)، اما پیروان فیثاغورس را به‌سبب دل‌بستگی بیش از اندازه به جست‌وجوی روابط عددی میان نغمه‌ها سرزنش کرده است (VII/ 531B-531C).