أَرْخَمیدِس (287-212ق.م)، عالم الریاضیات الیوناني. ولد في سرقوسة، وکان أبوه فیدیاس للکي هذه المدینة، وقد تلقی أرخمیدس لدیه قسماً من مبادئ الریاضیات. ویبدو أن أسرته کانت تمت بصلة القرابة إلی هیرون الثاني حاکم سرقوسة، کما نشأت علاقة صداقة بینه وبین هیرون، وقد أهدی أرخمیدس أحد آثاره إلی جیلون أکبر أبناء هیرون و خلیفته (پاولي، III/ 507-508؛ هیث، 15-16؛ البستاني، 9/ 88).

وخلال شبابه و عندماکانت مدرسة الإسکندریة في ذروة ازدهارها، التحق أرخمیدس بها و انبری لتلقي العلم فیها. و من المحتمل جداً أن یکون علماء الإسکندریة قد استفادوا بدورهم من عبقریته في الهندسة. وخلال إقامته المدیدة في الإسکندریة أنشأ علاقات صداقة مع أشهر علماء الریاضیات في تلک المدینة،ولدی عودته إلی مسقط رأسه کانت له أیضاً مراسلات معهم، وکانوا یستعینون به لإثبات بعض القضایا الهندسیة (أرخمیدس، 151؛ پاولي، البستاني،ن.صص).

وعقب عودته إلی سرقوسة، وقف حیاته علی تدریس الریاضیات وحل المسائل الهندسیة واختراع الآلات المیکانیکیة. وقد عُدّ أعظم علماء الریاضیات في التاریخ القدیم، ویبدو أن لقب«المهندس» کان یختص به في الیونان القدیمة وقد نال هذه الشهرة أیضاً في أوساط علماء الریاضیات في العصر الإسلامي (أنبوبا، 86). وخلافاً لما کان علیه الحال في ذلک العصر، فقد تناول أرخمیدس الریاضیات بشکل منفصل عن الفلسفة، لکنه کان یطرح أحیاناً أسئلة حول ماهیة بعض القضایا الریاضیة. وفضلاً عن الریاضیات، فقد أبدی أرخمیدس رغبة خاصة أیضاً بالفیزیاء و الفلک والمیکانیکا (علم الحیل) نظراً لصلتها جمیعاً بالریاضیات. وفي الحقیقة، فإنه کان منصرفاً غالباً للجوانب النظریة من العلوم، وباستثناء بعض الحالات التي کانت حاجات المجتمع الملحة تدعو إلیها، فإنه لم‌یتناول الجوانب العملیة في العلوم (پاولي، ن.ص؛ هیث، 16؛ البستاني، ن.ص؛ شتولوف، 164). کان مفتوناً بظاهرة ینسیه افتتانها الطعام والشراب والنظافة، وحتی عندما کان یجلب إلی الحمام کرهاً، یستغل کل وسیلة لرسم الصور الهندسیة و یشغل نفسه بها (پلوتارک، V/ 481؛ شتولوف، ن.ص؛ هیث، 18-19).

ومع أن اختراعات أرخمیدس أکسبته شهرة واسعة وقدّمته بوصفه عملاقاً ذا عقل خارق یتجاوز القدرات البشریة، لکنه لم‌یکن راغباً أن ینوه هو نفسه بذلک في کتاباته. وکان یعدّ صناعة الآلات المیکانیکیة وبصورة عامة کل ما من شأنه تحقیق منفعة عملیة، أمراً تافهاً عدیم الجدوی، فوجه کل اهتمامه إلی خلق الأفکار التي لانشوب جمالها وسحرها شائبة نفع مادي. وبحسب وجهة نظره، فإن النفع الذي تحققه الهندسة في الجانب العملي هو في عداد النتائج الفرعیة لهذا العلم. ولقدکان مصرّاً علی وجهة نظره هذه بحیث تطلب الأمر في فترةٍ ما أن یطلب إلیه هیرون و بشکل جدي أن یتحول في علمه قلیلاً من القضایا المجردة إلی القضایا المتحققة في الواقع العملي، وأن یطرح نظریاته بشکل یمکن معه فهمها من قبل الناس العادیین و بذلک یمکن أن تکون ملموسة، کما تلبي قلیلاً أیضاً بعض احتیاجاتهم في أعمالهم الیومیة. وبعد وفاة هیرون و عندما هاجم الرومان سرقوسة، عمل أرخمیدس بنصیحته و وقف عبقریته فيعلم المیکانیکا علی الدفاع عن مسقط رأسه و أبناء شعبه (پلوتارک، V/ 479-481؛ شتولوف، ن.ص؛ پاولي، III/ 508).

عُرف أرخمیدس بوصفه واضع أساس نظریة توازن السوائل ومکتشف قانون الأزاحة (قانون أرخمیدس) و قانون العتلة. ورویت بهذا الشأن قصص یشک في صحة بعضها، فقد قیل إنه اکتشف قانون الإزاحة عندما طلب إلیه هیرون معرفة وزن الذهب والفضة المستخدمین في صنع تاجه وإنه نجح في حل هذه المسألة عندما کان في الحمام. کما قیل إنه تمکن مستخدماً البکرات المرکبة من أن ینقل لوحده سفینة مشحونة بالرکاب من البر إلی البحر (پاولي، ن.ص؛ شتولوف، 160-165؛ هیث، 19؛ کلاغیت، 213). وفي کشفه لقانون العتلة أیضاً نقل عنه قوله: «أعطني نقطة ارتکاز فأرفع العالم»؛ کما قیل إنه کان قد صنع منجنیقات ضخمة للدفاع عن سرقوسة،ي مواجهة هجمات الرومان، کان یرمي بواسطتها بالدحجار الکبیرة أو قذائف من الرصاص باتجاه جنود الأعداء وسفنهم. وقد عدت کل آلة من الآلات التي اخترعها أرخمیدس آنذاک معجزة، مما حدا بالرومان إلی أن لایهاجموا سرقوسة لفترة طویلة و یکتفون بمحاصرتها (پاولي، III/ 508, 538-539؛ هیث، 16-17؛ کلاغیت، ن.ص؛ إیفز، 142).

 وبرغم الاختراعات الفریدة لأرخمیدس، تمکن الرومان أخیراً وبعد سنتین مستغلین غفلة حراس سرقوسة، من فتح المدینة. وخلال ذلک کان أرخمیدس غارقاً في حل مسائل في الریاضیات إلی درجة لم‌یکن معها منتبهاً إلی سقوط المدینة. ومع أن القائد الروماني مارسلوس کان قد أمر أن لایوقع أحدٌ الأذی بذلک الشیخ العلام، لکنه قتل بید أحد الجنود الرومان. وقد قیل إن مقتل أرخمیدس أحزن مارسلوس کثیراً وأمر أن یدفن جثمان العالم بکل إجلال، وعمل بوصیته التي کان قد طلب فیها أن توضع کرة محاطة منحوتة في أسطوانة وتذکر نسبة حجمیهما علی قبره (پلوتارک، V/ 481؛ هیث، 17-18؛ پاولي، ن.ص؛ «معجم...»، 25؛ فان در فیردن، 351).

وسرعان ماطوی النسیان قبر أرخمیدس. وفي سنة 75 ق.م کشف شیشرون عن قبره الذي کان قد عفی علیه التراب والأعشاب وانبری لترمیمه، لکن اختفی مرة أخری عن الأنظار وظل مجهولاً حتی عصرنا الراهن. وفي 1965م و خلال عملیة حفر لوضع أسس دار ضیافة في سرقوسة،ظهرت شاهدة قبر دلت – استناداً إلی بعض المعطیات المتوفرة – علی أنها من الممکن أن تکون خاصة بأرخمیدس (پاولي، أیضاً کلاغیت، فان در فیردن، ن.صص).

وفي المصادر الإسلامیة ذُکر أرخمیدس بوصفه العالم الذي تمکن – باختراعه المرایا المحرقة – من إحراق سفن العدو، و الیوناني الذي عاش في مصر و تعلم کثیراً من العلموم علی أیدي المصریین، وأول من أقام السدود في أراضي أغلب القری المصریة لمنع میاه نهر النیل من إغراقها خلال ارتفاع مناسیبه، و بنی الجسور للإبقاء علی الطرق الواصلة بین القری مفتوحة، وأن علماء مصر اقتبسوا من علمه أکثر مما استفاد هو منهم. کما نسب إلیه حفر مواضع في مصر کي تتجمع فیها میاه البحر خلال المدّ،وتخرج منها خلال الجزر من غیر أن تلحق الضرر بمیاه النیل. و عُزي إلیه حساب النسبة بین قطر الأرض و محیطها وکذلک کشف أحد قوانین حساب المثلثات الذي یستخدم في حساب و تر قوس ذي 36 (الیعقوبي، 119؛ البیروني، الجماهر ...، 187، تحدید ...، 24، 217، القانون ...، 1/ 273؛ القفطي، 66-67؛ ابن لاعبري، 63-64).

وفي أواسط القرن 3هـ بدأت معرفة العلماء المسلمین بمؤلفات أرخمیدس وانبروا لترجمتها. وقد بحث بنو موسی (ن.ع) في نقائص کتابه حول الکرة والأسطوانة، وأخضع الکندي (ن.ع) في رسالة له بعنوان تقریب قول أرشمیدس في نسبة قطر الدائرة من محیطها، للنقاش مدی دقة حساب أرخمیدس للعدد (GAS, V/ 121-122) .

آثاره

یمکن تقسیم آثار أرخمیدس إلی 3 مجامیع:

1. في الأشکال الهندسیة المنحنیة مثل «في الکرة و الأسطوانة» و «في مساحة الدائرة» و «في أشباه المخروطات و أشباه الأُکَر» و «في اللوالب الحلزونیة» و «في تربیع القطع المکافئ» (ظ: أرخمیدس، 247-252، القضایا، 18-24).

2. الآثار ذات العلاقة بمسائل التوازن الهندسي و کذلک توازن السوائل مثل القضایا 1-17 في «تربیع القطع المکافئ» و «في توازن السطوح المستویة» و «في الأجسام العائمة» و «في مرکز ثقل السطوح المستویة» (ظ: م.ن، 233-246).

3. آثار في علم الحساب مثل «حساب الرمل» و «مسألة الأبقار» و«رسالة أسطوماخیون» (ترکیب القطع). ویعتد هیث (ص22) أن الأثر الأخیر لایمکن أن یکون لأرخمیدس (أیضاً ظ: زوتر، 92-93؛ پاولي، III/ 517-518؛ کلاغیت، 214؛ «معجم»، ن.ص).

کما فقد عدد من آثاره التي یمکن أن یجمع بعضها من جدید مثل «في توازن السطوح المستویة» و رسالة «في مرکز ثقل الأجسام»، من خلال الاستعانة بالنقول الموجودة منها في آثار الکتّاب الیونانیین الذین تلوه، بینما لایُعرف من بعض آثاره الأخری سوی عناوینها. و توجد آثار أخری أیضاً مثل کتب المأخوذات في الهندسة، والمسبع في الدائرة، والأصول الهندسیة، وفي الدوائر المتماسة، والمثلثات، نسبها إلیه المؤلفون المسلمون وتتوفر نسخ کثیرة من ترجماتها العربیة کما طبع بعضها (أرخمیدس، «في الأصول...»، 18، «في الدوائر...»، 2؛ ابن الندیم، 326؛ صاعد الأندلسي، 29؛ پاولي، III/ 537؛ «معجم»، 25-26؛ کلاغیت، GAS, V/ 131-135; 230). وفي کتاب «الکرة والأسطوانة» قدم أرخمیدس طرقة لحساب سطح الکرة وحجمها و قطوعها، کما قدم في «أشباه المخروطات و أشباه الأکر» طریقة قیاس أحجام القطع المکافئ والقطع الزائد و القطع الناقص (پاولي، III/ 523؛ «معجم»، 25). وقد قام مترجم مجهول بترجمة کتاب «الکرة و الأسطوانة» إلی العربیة،وقام ثابت بن قرّة بتصحیحه. ویقول الخواجه نصیرالدین الطوسي الذي قدّم تحریراً آخر لهذا الکتاب، إن «الکرة و الأسطوانة» ترجم مرة أخری أیضاً بواسطة قسطا بن لوقا (ن.ع) إلی العربیة. وقد کتب الماهاني و ابن الهیثم (ن.ع.ع) شرحین علی هذا الکتاب (نصیرالدین، 2-3؛ GAS, V/ 121). وقد قام في نتربیع القطع المکافئ» بحساب المساحة الواقعة بین قوس القطع المکافئ والوتر الواصل بین نهایتي القوس (ظ: ن.د، إبراهیم بن سنان).

وتظهر الدراسات الحدیثة أن أرخمیدس جعل أسالیب الاستدلال الریاضي أکثر غنیً ولم‌یکتف باستخدام الطرق الأقلیدسیة. فقد قام بشرح المبادئ المتعارفة و الموضوعة في الریاضیات، فتوصل في هذا المضمار إلی آراء مبتکرة لم‌تطرح في کتاب مبادئ هندسة أقلیدس. کما وضع مجموعة مبادئ في بحث التوازن الهندسي و توازن السوائل. وعلی هذا و مع الأخذ بنظر الاعتبار البراهین الریاضیة الخاصة بهذه النظریات في هذا البحث، عرف أرخمیدس بوصفه مؤسس قسم من الفیزیاء الریاضیة. برغم أنه انبری لأمثال هذه البحوث بهدف الحصول علی نظریات جدیدة في الریاضیات والبرهنة علی صحتها فحسب (پاولی، III/ 528-529؛ «معجم»، 26).

وفي «حساب الرمل» توسع أرخمیدس لنظام الأعداد الذي کان یصل حتی ذلک الحین إلی فقط، فجعله یصل إلی ، وأکد علی أن الأعداد الطبیعیة یمکن أن تستمر إلی مالانهایة. وفي هذا المجال طرح أیضاً المسائل ذات العلاقة بالمسافات الفلکیة (ظ: پاولي، III/ 512-513؛ «معجم»، ن.ص). وفي «رسالة أسطوماخیون»، قسم أرخمیدس أحد المربعات إلی 14 قسماً بحیث تکون مساحة کل قسم من هذه الأقسام قیاساً إلی کل مربع، عدداً صحیحاً (ظ: الشکل 1؛ أیضاً ظ: زوتر، 491-499).

کان من أعمال أرخمیدس المهمة استخدامه المنظم لأسلوب الإفناء (حساب التکامل) في حل بعض المسائل، ففي کتابه «في اللوالب الحلزونیة»، بحث المسألة بالشکل التالي: تتحرک نقطة بسرعة ثابتة V (منطلقة من النقطة O) علی خط مستقیم، و في نفس الوقت یدور هذا الخط المستقیم حول النقطة O بزاویةحادة ثابتة W، وبهذا تقطع ههذ النقطة منحنیاً حلزونیاً (الشکل 2).

وتبیّن هذه المسألة بالشکل التالي: مساحة السطح المقطوع بواسطة الخط الواصل بین المرکز و النقطة المتحرکة P، هو سطح الدائرة الأولی (أي ).

و نرید الآن حساب مساحة القسم المظلل من الشکل 2.

لحل هذه القضیة، أخذ أرخمیدس في البدء بنظر الاعتبار أن العلاقة التي تکون فیها فاصلة النقطة المتحرکة P من المبدأ O و مثل الشکل 1 (بحسب رادیان)، هي التي تحدد سیر النقطة P (بلغة الریاضیات المعاصرة ). وعلی هذا ، وبالنتیجة تکون ). ثم دلل علی أن:

وفي سبیل إثبات ذلک استخدم طریقة الإفناء (حساب التکامل) وأخذ بنظر الاعتبار جانبي الصفحة:

ألف- الجانب I الذي مساحة سطحه (SI) أکبر من مساحة السطح المطروح (S) (الشکل 3) و بالطریقة التالیة:

نأخذ النقاط علی مسار حرکة النقطة p بشکل یکون لدینا:

وبالنتیجة ومع الأخذ بنظر الاعتبار معادلة المنحني سیکون لدینا:

نختار النقاط بحسب الشروط التالیة:

 ذلک أنه في غیر هذه الحالة سیکون لدینا:

والآن سنأخذ n بشکل مکبَّر بحیث یکون لدینا:

إن اللامتساویة هذه تنفي العلاقة (2). ثم تثبِّت اللامتساویة (3).

ب- الجانب II الذي مساحة سطحه أصغر من S (الشکل 4)، ویتم ذلک بأن نختار النقاط بحیث یکون لدینا:

ومن العلاقة (1) سیکون لدینا:

ولما کان لدینا n لکل عدد من الأعداد الطبیعیة:

ففي النتیجة: (5)

وهنا أثبت أرخمیدس بواسطة برهان الخلف أن:

 ذلک أنه في غیر هذه الصورة سیکون لدینا:

إن هذه اللامتساویة تنفي العلاقة (5)، ثم تثبّت اللامتساویة ´(3).

ومن (3) و ´(3) یُستنتج:

وبلغة الریاضیات المعاصرة وبواسطة حساب التکامل (الذي هو في حقیقته طریقة الإفناء)، یمکن بسهولة التوصل إلی هذه النتیجة:

الجدیر ذکره أن منحني أرخمیدس في مبدأ الأحداثیات یتماسّ مع المحور الأفقي، ذلک أن:

 المصادر

ابن‌العبري، غریغوریوس، تاریخ مختصر الدول، بیروت، 1983م؛ ابن الندیم، الفهرست؛ أرخمیدس، «في الأصول الهندسیة»، «في الدوائر المتماسة»، رسائل ابن قرة، حیدرآبادالدکن، 1366هـ/ 1947م؛ أنبوبا، عادل، «تسبیع الدائرة»، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، 1977م، س 1، عد 2؛ البستاني؛ البیروني، أبوالریحان، تحدید نهایات الأماکن، أنقرة، 1962م؛ م.ن، الجماهر في معرفة الجواهر، بیروت، 1404هـ/ 1984م؛ م.ن، القانون المسعودي، حیدرآبادالدکن، 1373هـ/ 1954م؛ صاعد الأندلسي،طبقات الأمم، بیروت، 1912م؛ القفطي، علي، تاریخ الحکماء، اختصار الزوني، تقـ: یولیوس لیپرت، لایپزک، 1903م؛ نصیرالدین الطوسي، تحریر الکرة و الأسطوانة، حیدرآبادالدکن، 1359هـ؛ الیعقوبي، أحمد، تاریخ، بیروت، 1379هـ/ 1960م؛ وأیضاً:

Archimedes, «On Spirals», Works, ed. T. L. Heath, NewYork, 1897; Clagett, M., «Archimedes», Dictionary of Scientific Biograpy NewYork, 1970. Vol. I; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, NewYork etc., 1964; GAS; Heath, T. L., introd. Works (vide: Archimedes); Lexikon bedeutender Mathematiker, ed. S. Gottwelt et al., Leipzig; Pauly; Plutarch, Lives, tr. B. Perrin, London etc., 1968; Stuloff, N., Die Entwicklung der Mathematik, Mainz, 1982; Suter, H., «Der Loculus Archemidius», Beiträge zur Geschichte der Mathematik und Astronomie im Islam, Frankfurt, 1986, vol. II; Van der Waerden, B.L., Erwachender Wissenschaft, Basel, 1966.

علي‌رضا جعفري نائیني/ هـ.