الأعداد و الأرقام

اَلْأَعْدادُ وَالْأَرْقام، الأعداد مجموعة أسماء تستخدم للحساب، أو لقياس الأشياء، والأرقام مجموعة علامات للدلالة على الأعداد. 
والأعداد في صورتها الأولية هي وليدة فكر البشر لحساب الأشياء. و في قسم العدد من كتاب التفهيم عرّف أبو الريحان البيروني قبل تعريفه العدد، الواحدَ على النحو التالي: «ما الواحد؟ هو الذي يتّسم بالوحدة، و هو الكامل الذي لايزداد و لايتناقص ولايتغير بالجملة عن حاله بضرب، أو قسمة، و هو بالقوة جميع الأعداد، وفيه جميع لواحقها...»، ثم عرّف العدد على النحو التالي: «ما العدد؟ هو جماعة مركبة من آحاد ولذلك أخرجوا الواحد من جملتها، فلم يسمَّ عدداً [ذلك أنه ليس مركّباً من مجموعة آحاد]» (ص 33-34). 
 
وكما لوحظ، فإن الواحد لم يكن يُعدّ عدداً في العصور الماضية. كما يستفاد من هذا التعريف أن الصفر أيضاً ليس عدداً، بحيث لم يكن قد قُرّرت علامة للدلالة على الصفر لمدة طويلة؛ مع أن هذا التعريف يصدق على الأعداد الطبيعية فحسب، بينما يذكر البيروني هو الآخر الأعداد الكسرية، بل وحتى الأعداد الصماء في عداد الأعداد. وطوال التاريخ اتسع مفهوم العدد، و إن التعريف الرياضي للأعداد وأقسامها والذي يتطابق والتركيبة المعاصرة للرياضيات والمنطق، هو خارج عن نطاق البحث المقصود في هذه المقالة. ولما كنا بحاجة إلى نظام عَدٍّ لحساب الأعداد وأرقامٍ لعرض الأعداد، فسنبحث أولاً في أساليب الشعوب القديمة في هذا المجال، ثم في المجاميع المختلفة للأعداد، ثم الأعداد الزوجية. 

الأرقام ونظام العدّ المصري

كانت الأعداد في مصر القديمة تُكتب في «نظام العد دون قيمة مكانية» وبشكل مجموعة من الأعداد 1، 10، 100، ... و000,000,1. وبغية إظهار قيمة المراتب المختلفة أيضاً كان يستخدم أحد هذه الأشكال: 

وكمثال على ذلك، فإن العدد 486,375,2 كان يكتب بالشكل التالي: 

أي أنه ولأجل استخراج معامل المرتبة الأعشارية الخاصة بكل مرتبة، كانت علاقة تلك المرتبة تكرر بعدد المرات المطلوبة. وفي الحقيقة، فإنه في نظام العدّ المصري كانت الأرقام تستخدم لإظهار مرتبة الأعداد وليس معامل تلك المراتب. وفي هذا النظام لم يكن لترتيب العلامات أهمية، لكن المصريين كانوا يحاولون اختيار الترتيب الأجمل. 

الأرقام ونظام العد البابلي

كانت الشعوب القديمة في بلاد ما بين النهرين تعرض الأعداد بالخط المسماري. وكانوا يكتبون الأعداد في «نظام العد الستيني (أساسه 60) مع قيمة مكانيـة». لكـن كل واحـد من الأرقـام التسعة والخمسين فـي هذا النظام كانت بدورها تكتب فقط بعلامتين   = 1 و   = 10، أي في «نظام عد أعشاري بـدون قيمة مكانيـة». وكـان البابليـون يكتبـون هذه العلامات إلى جانب بعضها، أو فوق بعضها. 

و فـي نظـام العـدّ البابل-ي لـم تكـن هناك أية علامـة لإظهار الصفر، بل كانوا في الغالب يتركون مكاناً خالياً للمراتب التي كان معاملها صفراً. وكان ذلك يؤدي إلى أن يعرف المقدار الدقيق لرقمٍ ما من خلال تدقيق الحسابات فحسب. فمثلاً هذا العدد: 

كان يمكن أن يُقرأ      64=4 + (60×1)=4,1 
أو       604,3=4 + (60×0) + (2 60×1)=4,0,1 
أو  002,216=4 + (60×0) + (2 60×0) + (3 60×1)=4,0,0,1 
 
وكانـوا فـي العـادة يفصلـون المـراتـب الستينيـة المختلفـة عن بعضهـا بعلامة. فمثلاً تكون 10، 6، 5 في النظام الستيني معـادلـة لـ 370 ,18 فـي النـظـام الأعشـاري: 
 (= 10 + (60×6) + (602×5))

الأرقام ونظام العد اليوناني

كان اليونانيون ومنذ حوالي 500 ق.م يستخدمون كل واحد من حروف أبجديتهم السبعة والعشرين على التوالي للتعبير عن أحد الأعداد من 1 إلى 9 ومضاعف 10و100 لهذه الأعداد. وهكذا كانوا مضطرين إلى استخدام علامات إضافية لمرتبة الألوف و ما فوقها. و في هذا النظام أيضاً ــ وكما هو الحال في النظام المصري ــ كانت قيمة الأرقام المختلفة تجمع مع بعضها: 

وعند المسلمين كان يسود نظام عدّ كثير الشبه بالنظام أعلاه، ويسمـى حساب الجُمَّل وكانت تستخدم فيه الحروف الأبجدية (ظ: ن.د، أبجد). 

 
الأرقام ونظام العد الروماني

كان الرومان يستخدمون هذه العلامات لأرقامهم: 
1000 = M 500 = D 100 =C 50= L 10=X 5 = V 1=I 
و في الحقيقة، فإن الاختلاف بين أرقام ونظامي العد الروماني والمصـري كـان يكمن فـي وجـود عـلامـات مستقلـة للأعـداد 5 و50 و 500 في النظام الروماني. كما أنه في هذا النظام، إذا وقعت الأرقام I، X، أوC على التوالي في الجانب الأيسر من أول رقمين أكبر منها (VوX ،...)، ينقص قص العدد الأصغر من العدد الأكبر، أما إذا وقعت على الجانب الأيمن منه عُمِل كما في النظام المصري؛ وكمثال على ذلك 1-5=IV و 1 + 5 = VI. كما أن أياً من الأرقام (عدا M) لا يأتي أكثر من ثلاث مرات على التوالي؛ فمثلاً العدد 4 كان يكتب بشكل IV وليس IIII ، و في هذا النظام كان العدد 999,4 يكتب بشكل MMMMCMXCIX ، أي مجموع الأعداد 4000 (MMMM)، 900 (CM)، 90 (XC)، و9 (IX) (وليس بشكل MMMMIM = 1-1000+4000). 

الأرقام ونظام العد الهندي

إن إحدى بدائع الرياضيات الهندية «نظام العد الأعشاري مع القيمة المكانية»، أي نظام العد السائد حالياً. وأول علامات الاستفادة من النظام الأعشاري الهندي (بشكل بدائي طبعاً) يعود إلى 300 سنة قبل الميلاد. وكان الهنود آنـذاك ــ شأنهـم شـأن اليـونـانييــن ــ يستخدمـون 18 حـرفـاً مـن الأبجديـة البراهميـة للأعـداد 1 إلـى 9 و10، 20، 30، ... إلى 90. 
كما أن العلامتين   و  كانتا تستخدمان للدلالة على العددين 100و1000 على التوالي. و في هذا لنظام وبغية الحصول على مضاعف الأعداد مثل الدلالة على أعداد مثل 200، 300، ... أو 000,2، 000,3، ... كانت تستخدم الطريقة المصرية نفسها (أي كان يستخدم معامل 1 إلى 9، إلى جانب الرقمين 100 و 000,1). 
وتعود أول الدلائل على استخدام نظام العد مع القيمة المكانية إلى حوالي القرن 6م. و في وثيقة مُهداة كتب تاريخ بالأرقام البراهمية على النحو التالي: 
 

إن التباين بين هذا الشكل لكتابة العدد وأسلوب كتابة العدد بالشكل الذي هو عليه اليوم يكمن فحسب في شكل الأرقام المستخدمة، و كذلك استخدام الصفر للدلالة على المراتب الخالية. و في الرسم البياني التالي، يمكن ملاحظة تسلسل التغييرات الحاصلة في شكل الأرقام: 

الأرقام الهندية ـ الإسلامية

ليس معلوماً التاريخ الذي تعرف فيه سكان الشرق الأوسط إلى الأرقام الهندية. ويحتمل أن يكون نظام المراتب الأعشاري قد وصل إلى الشرق الأدنى عبر الطرق التي كانت تسلكها القوافل. وربما كان هذا التطور قد حدث في العهد الساساني (224-641م)، أي عندما كانت العلاقات الوثيقة قائمة بين إيران ومصر والهند. ويحتمل أن سكان هذه المناطق كانوا آنذاك على معرفة أيضاً بنظام كتابة الأعداد السائد في بلاد ما بين النهرين. وأقدم مصدر كُتب خارج الهند دُوّنت فيه الأعداد بنظام العد الهندي، هو كتاب لأسقف سوري يدعى سوروس سبخت، والآخر الترجمة العربية لكتاب سيدهانتا (السند هند) لإبراهيم بن حبيب الفزاري (ترجمه في 156ه‍ / 773م). 
وبعد ترجمة هذا الأثر الفلكي الهندي المهم، شاع استعمال نظام العد الهندي بسرعة بين المسلمين. وعلى الرغم من أن استخدام حساب الجُمّل كان رائجاً إلى جانب هذا النظام. لكن معرفة الأوروبيين بنظام العد الهندي ـ الإسلامي يحتمل أن تكون قد حدثت في أوائل القرن 13م عن طريق الروايات اللاتينية لكتاب حساب عالم الرياضيات الإيراني الشهير، محمد بن موسى الخوارزمي، المعروف بـ الجمع والتفريق بحساب الهند (ألّفه في 210ه‍( الذي يعدّ أقدم كتاب عربي مؤلَّف في الحساب. وقد ضاع الأصل العربي لهذا الكتاب، لكن استناداً إلى الشرحين اللاتينيين الموجودين له، اتضح أن هذا الكتاب لم يكن ترجمة نصّ هندي، بل كان تجميعاً لبعض الآثار الهندية في الحساب. وفي هذا الكتاب تم بحث نظام العد الأعشاري مع القيمة المكانية، العمليات الأربع الأساسية، التضعيف، التنصيف، كيفية الحساب بالكسور الستينية، كيفية استخراج جذور الأعداد الطبيعية وجذور الكسور. 

نظرية الأعداد

خلافاً للمصريين والبابليين، اهتم اليونانيون بالجوانـب العلميـة والنظريـة للرياضيـات. وكـان فيثـاغـورس (تـ ح 500 ق.م) وأتباعه يرون أن للأعداد خواص سحرية. وكانوا يختارون لكل عدد تعبيراً، فقد كانوا يعتقدون مثلاً أن الأعداد الزوجية مؤنثة والأعداد الفردية مذكرة، و أن العدد 5 الذي هو أصغر حاصل جمع لعددين زوجي وفردي رمز للزواج. 
و في الحقيقة، فإنه يمكن أن يُعدّ فيثاغورس وأتباعه رواد بسط نظرية الأعداد التي تبحث في خواصها. وهذا تعريف بسيط لعدة مجاميع من الأعداد: 

الأعداد الطبيعي

تُسمى مجموعة الأعداد 1، 2، 3، 4،... مجموعةَ الأعداد الطبيعية وأولها العدد 1. وبإضافة العدد 1 إلى كل عضو في المجموعة ينتج العضو التالي. وبهذا الشأن قال أبوالريحان البيروني: ما الأعداد الطبيعية؟ هي التي تبتدئ بالواحد، المتزايدة بواحد، مثل 1، 2، 3، 4، 5،... وتسمى أيضاً بالأعداد المتواليـة، أي الواحد تلو الآخر (بطبيعـة الحال، فإن أبـا الريحان لا يرى هنا أيضاً الواحد من ضمن الأعداد، ظ: ص 34). 

العدد الجذري

هو العدد الذي يمكن الدلالة عليه بشكل   (a وb عددان صحيحان، و 0 b). 

العدد الأصم

أو بحسب تعبير البيروني (ظ: ص 42) «كَر»، هو العدد الذي لايمكن الدلالة عليه بشكل كسر   (a وb عددان صحيحان، و 0 b). 
وأول خاصية تطرح بشأن الأعداد الطبيعية هي زوجية الأعداد، أو فرديتها (ظ: م.ن، 34، حيث ورد العدد 3 بوصفه أول عدد فردي). ونشير هنا إلى بعض ملحقات الأعداد الطبيعية ذات خواص مهمة: 

العدد الأولي

هو العدد الصحيح الأكبر من واحد والذي لايقبل القسمة إلا على نفسه، أو على 1. أما العدد الصحيح الأكبر من 1 و الذي لايكون أولي، فيدعى مركباً. فمثلاً العدد 19 عدد أولي، والعدد 21 عدد مركب؛ ذلك أن العدد 21 قابل للقسمة على 7و3 فضلاً عن 21و1. 
إن الأعداد الأولية كما أشار إليها أقليدس أيضاً في كتاب IX من أصوله لامتناهية. وبغية الحصول على أعداد أولية أصغر من عدد مفترض مثل n يستفاد من طريقة الغربال المنسوبة إلى إراتوستينس (273-192 ق.م) (لإيضاح هذه الطريقة، ظ: مصاحب، 2 / 77-81). وبشأن الأعداد الأولية، فإنه ماتزال هناك بحوث كثيرة وبعضها بقي من غير حل، يمكن أن يُشار من بينها إلى كيفية توزيع كثرة الأعداد الأولية. 
وكان الفيثاغوريون يعرفون الأعداد المصورة والأعداد التامة والأعداد المتحابة التي سنذكرها فيما يلي: 

الأعداد المصورة

وتشمل الأعداد المثلثة والمربعة والمخمسة. وهذه الأعداد هي مجموع n من الجمل الأولى لمتوالية حسابية معينة. 

العدد المثلث: 1، 3، 6،10،...      1+2+3+...+n=  

العدد المربع: 1، 4، 9،...    = 1+3+5…+(2n-1)= n2   

العدد ‌المخمس: 1، 5، 12،... =1+4+7…+(3n-2)=  

و في هذه المقالة سيتم البحث فحسب فيما بعد في الأعداد الطبيعيـة مـع ملحقة لهـا. و فـي جميع المواضع، فـإن المقصـود بـ : «أجزاء عدد طبيعي ما» هو جميع الأعداد التي يقبل القسمة عليها باستثناء العدد نفسه. 

العدد التام

يسمى العدد الطبيعي a تاماً متى كان (a)σ´ (أي مجمـوع أجزاء العدد a) مساويـاً لـ a نفسه. فمثلاً العدد 6 الذي تكون الأرقام التي يمكن قسمته عليها أصغر من 6 عبارة عن: 1 و2 و3 ولدينا: 6 = σ´ (6) = 1+2+3. 
يثبت أقليدس (ولد ح 300 ق.م) في كتاب IX من أصوله أنه 
إذا كان لكل n صحيح وموجب 2n-1، عددٌ أوليٌّ واحد، حينها سيكون (2n-1) 2n-1 عدداً تاماً. والبعض من الأعداد التامة الأخرى عبارة عن 28، 496، 8128 ، ... 

العدد الناقص

هو العدد الذي يكون أكبر من مجموع أجزائه، مثل العدد 8، حيث 8 > 4+2+1. 

العدد الزائد

هو العدد الذي يكون أصغر من مجموع أجزائه، مثل العدد 12، حيث 12 < 6+4+3+2+1. 
الأعداد المتحابة: يقال للعددين الصحيحين الموجبين، عددان متحابان متى ما كان مجموع أجزاء كل واحد منهما يعادل الآخر. مثال: يسمى العددان 220 و284 متحابين لأن: 
284= 110+55+44+22+11+20+10+5+4+2+1=(220)σ´ 
        220=142+71+4+2+1=(284) σ´
وينسب اكتشاف العددين المتحابين إلى فيثاغورس. و قد وضع ثابت بن قرة (221- 288ه‍( قاعدة لتعيين بعض الأعداد المتحابة هي بالمعادلة المعاصرة على النحو التالي: 
إذا كان العددان h= 3×2n-l و= 3×2n-1 -1 t أوليين، وكان العدد s=t+h+h×t أيضـاً عدداً أوليـاً، عندها فالعـددان (h+t+h×t)b=2n و a=2n×h×t زوجان متحابان. وبإزاء n=2 ، لدينا: 220= a و284= b وبإزاء 4 = n ينتج العددان المتحابان 18416 = a و17296 = b (فوپكه، 420-429). و قد ذكر كمال الدين الفارسي هذا الزوج في تذكرة الأحباب في بيان أعداد التحاب. و قد استخرج ابن البناء المراكشي (ظ: ن.د، 2 / 500-504) هو الآخر وتزامناً مع كمال الدين الفارسي تقريباً، هذا الزوج مرة أخرى مع تكراره قاعدة ثابت بن قرة (ببيان أكثر تعقيداً بطبيعة الحال)، وذكره في المسائل في العدد التام والناقص والزائد. وبعد فتـرة وفي 1636م استخـرج پيير دي فرمـا أيضاً هذا الـزوج (ظ: جعفري، «تاريخ...»، 55-56,75؛ فوپكه، 428-429؛ قرباني، 40-41، 56-59). وبإزاء 7 =n تمّ الحصول على العددين المتحابين 9437056 = b و 9363584= a من قِبل محمد باقر اليزدي (كان حياً في 1047ه‍ / 1637م) و ذُكر في كتاب أصول عيون الحساب. وتمكن ديكارت من استخراج هذين العددين مرة أخرى بعد عدة سنوات. 

الأعداد المتعادلة

جدير بالقول إن هذه الأعداد لم تكن معروفة في الغرب حتى فترة قريبة وحصل عليها كاتب المقالة من عيون الحساب لمحمد باقر اليزدي. 
و قد بنيت على أساس بحوث هذا الكتاب نظرية، إلا أنه اتضح فيما بعد أن أبا منصور البغدادي (تـ 429ه‍ / 1038م) بحث في هذه الأعـداد في كتاب التكملة فـي الحساب قبل اليـزدي بفتـرة مديدة. 
تعريف: إذا كان a وb عددين طبيعيين، قيل إن هذين العددين متعادلان متى ما كان مجموع أجزائهما متعادلاً، أي (b)σ´=(a)σ´ . مثال: يقال إن العددين 39 و55 متعادلان، ذلك أن: 
     17=11+5+1=(55)´σ و17=13+3+1=(39) ´σ 
و قد أثبت محمد باقر اليزدي الخاصية التالية: نفرض أن 
 n = p1+p2 = q1+q2 
وفيها p1، p2 ، q1 ، q2 أعداد أولية غيـر 2 وq2 q1 وp2 p1 
و في هذه الحالة، فإن الأعداد p1p2 و q1q2 متعادلة، أي أن 
σ´ (p1p2) = σ´ (q1q2) 
وإثبات هذا التساوي أمر يسير، ذلك أن الطرف الأيمن يساوي q1+q2+1، والطرف الأيسر يساوي p1+p2+1. 
و من المناسب هنا أن نذكّر بتخمين كريستيان غولدباخ (1690-1764م). نفرض أن    n و 6 < n زوجٌ؛ ففي هذه الحالة يمكن أن نكتب: n = p1+p2، وفيها p1 وp2 عددان أوليان متمايزان. 
و في مثال محمد باقر اليزدي لدينا: 11+5=13+3=16 
إذن 13×3 = 39 و11×5 = 55 متعادلان. و في مثال محمد باقر اليزدي الوحيد هذا تكون n بشكل أس لـ 2 (زوج الزوج). 
مثال آخر لأبي منصور البغدادي: 43+13=53+3=56 
إذن العددان 53×3 = 159 و43×13 = 559 متعادلان. في مثال أبي منصور البغدادي تكون n بشكل 2k×p. و لم يبحث أبومنصور البغدادي و لا اليزدي طريقة أخرى لاستخراج الأعداد المتعادلة، إلا أن نظرياتهم المقترحة للحصول على أعداد متعادلة أمر مثير للاهتمام: 
1. نفرض أن p1، p2، q1، q2 أعداد أولية، و 
P2   p1، q2   q1 و p2 p1 = a ، q2 q1 = b 
ففي هذه الحالة تتحقق المعادلة التالية: 
σ´ (a) = σ´ (b) <=> p1+p2 = q1 +q2 
بعبـارة أخرى، فإن الشرط الضروري والكافي ليتعادل a وb هو:             p1+p2 = q1+q2 
فمثلاً: 
σ´ (5×13) = σ (7×11) 
13+5=7+11=18 
2. نفرض أن pو q عددان أوليان، و2 p وp 2= a و q2 = b. في هذه الحالة تتحقق المعادلة التالية: 
σ´ (a) = σ´ (b) <=> q-p = 2 
وبعبارة أخرى، فإن الشرط الضروري والكافي ليتعادل العددان a وb هو أن يكون العددان الأوليان p و q توأمين، ذلك أنه إذا كان             σ´ (a) = σ´ (b) 
وبالنتيجة يكون a وb متعادلين. مثال: إن أول وثاني زوجين متعادلين من هذا النوع هما: (52و3×2)و(72و5×2) 
أي الزوجين (25,6) و (49,10). 
3. نفرض أن p1 وp2 عددان أوليان فرديان، و n عدد صحيح وأكبر من 1وn p12 = aو2p2 = b في هذه الحالة تتم المعادلة التالية: 
σ´ )a) = σ´ (b) <=> p2 – (2n-1) p1 = 22 (2n-1-1) 
σ´ (a) = (2n+1-1) (p1+1) - 2 np1 ; σ´ (b) = 3+p2ذلك أنّ  
وبالنتيجة لدينا: 
σ´(a) = σ´ (b) <=> (2n+1-1) (p1+1) -2np1 = 3+ p2 
<=>2n+1p1+2n+1-p1-1-2np1=3+p2 
<=>2np1-p1= 4-2n+1+p2 
<=>(2n-1)p1 =22(1-2n-1)+p2 
مثال: إن إول وثاني زوجين متعادلين من هذا النوع عبارة عن: (5×22و19×2) و (3×22و13×2)، أي الزوجين (20، 38) و(12، 26). 
ولما كان البغدادي هو الآخر لم يَدّعِ اكتشاف الأعداد المتعادلة، فيبدو أنه وجدها في أثر رياضي آخر (ظ: جعفري، «تاريخ»، مخ‍ ، «نوع جديد...»، 125-139). 

المصادر

البيروني، أبو الريحان، التفهيم، تق‍ ‍‌: جلال الدين همائي، طهران، 1317ش؛ قرباني، أبو القاسم، فارسي نامه، طهران، 1363ش؛ مصاحب، غلام حسين، تئوري مقدماتي أعداد، 1358ش؛ وأيضاً:

Djaʿfari Naini, A., Geschichte der Zahlentheorie im Orient, Braunschwig, 1982; id, «A New Type of Numbers…», Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1983, vol. VII; Woepcke, F., «Notice sur une théorie ajoutée par Thâbit ben Korrah…», JA, 1852, vol. XX. 
علي رضا جعفري نائيني / ه‍