اقلیدس

ُقْلیدِس، مشهورترین ریاضی‌دان دوران باستان (سده‌های 4 و 3 ق‌م) كه شهرتش به عنوان پدر هندسه تاكنون پایدار مانده است. از زادگاه و چگونگی آموزش او آگاهی روشنی در دست نیست. هر آنچه دربارۀ زندگانی اقلیدس نقل شده، یا از گزارشگران اواخر دورۀ باستان، یا از نویسندگان دورۀ اسلامی است. وی را معاصر اطولوقس و ارشمیدس (ه‍ م م) ــ از این یك سالمندتر و از آن یك اندكی جوان‌تر ــ شمرده‌اند. قرائنی نیز این نظر را تأیید می‌كند، ازجمله اینكه اقلیدس در كتاب پدیده‌ها ( الظاهرات) از دو اثر اطولوقس، یعنی دربارۀ كرۀ متحرك و طلوع و غروب ستارگان یاد كرده است، در حالی كه در آثار اطولوقس اشاره‌ای به اقلیدس دیده نمی‌شود. نظر یاد شده، همچنین با گزارشی كه در مجموعۀ ریاضیات پاپوس دربارۀ رابطۀ اقلیدس و آریستایوس، مصنف كتاب مخروطات آمده، و برپایۀ آن وی نیز معاصر سالمندتر اقلیدس به شمار رفته، سازگار است. اما از سوی دیگر، آنچه دربارۀ اشارۀ ارشمیدس به اقلیدس در كتاب كره و استوانه، و استفادۀ وی از اصول هندسه گفته شده، سخت محل تردید است و واقعاً نیز چنانكه كسانی گفته‌اند، ممكن است آن اشاره از خود ارشمیدس نبوده، بلكه از سوی كاتبی از حاشیۀ آن اثر به متن منتقل شده باشد (نصیرالدین، «تحریر ظاهرات ... »، 7، 12؛ كانتور، I / 261؛ پاولی، VI(1) / 1003-1004؛ «فرهنگ ...»، IV / 414, 431-432). به هر صورت، تقریباً مسلم است كه اقلیدس از 328 تا 385 ق‌م در آتن و اسكندریه فعالیت علمی داشته است، و باید افزود كه با توجه به آنچه از نوشته‌های او باقی مانده، و نیز گزارشهایی كه دربارۀ آثار گمشدۀ او در دست است، دوران فعالیت علمی او سالهای درازتری را در بر می‌گیرد و محتمل است كه تا حدود 270 ق‌م نیز زیسته باشد ( پاولی، نیز «فرهنگ»، همانجاها).
اقلیدس با بطلمیوس اول (حك‍ 305- 285 ق‌م) روابط شخصی داشته، و به روایت پروكلس (سدۀ 5 م) در شرح مفصلی كه بر كتاب اول اصول هندسه نوشته است، در پاسخ آن پادشاه كه پرسیده بود: آیا نمی‌توان هندسه را از راهی كوتاه‌تر از آنچه در كتاب اصول تعلیم داده می‌شود، آموخت، گفته است: برای آموختن هندسه، راه ویژه‌ای كه برای شاهان ساخته شده باشد، وجود ندارد. گرچه استوبائیوس همین لطیفۀ نیشدار را از منائخموس در پاسخ پرسش مشابهی از اسكندر روایت می‌كند، به هیچ وجه بعید نیست كه اقلیدس نیز آن را تكرار كرده باشد (همانجاها؛ شرایبر، 28).
استوبائیوس حكایت می‌كند كه یكی از دانشجویان اقلیدس پس از آموختن گزارۀ نخست اصول از وی پرسید كه از آموختن این مطالب چه سودی حاصل می‌شود؟ و اقلیدس به غلام خود فرمان داد تا پولی به او بدهد، زیرا انتظار دارد با آنچه می‌آموزد، سودی به دست آورد. در حقیقت چنین برخورد تحقیرآمیزی با دانشجوی هندسه، از سوی دانشمند فرهیخته‌ای مانند اقلیدس كه پاپوس او را «آرام، فروتن و نیكخواه نسبت به همۀ كسانی كه در پیشرفت ریاضیات می‌كوشند» خوانده است، به دشواری قابل تصور است، به ویژه اینكه پرس‌وجو دربارۀ فایدۀ هر دانش، كاری معقول است و قابل سرزنش نیست. به نظر می‌رسد راویان این حكایت خواسته‌اند موضع‌گیری اقلیدس را كه در اندیشۀ كاربرد عملی ریاضیات نبوده، و برای آن و هر دانش دیگری شرافت ذاتی می‌شناخته است، برجسته سازند («فرهنگ»، IV / 415؛ شرایبر، 27-28).
در منابع اسلامی، از تبار، زادگاه و زندگانی و فعالیت علمی اقلیدس با تفصیل بیشتری سخن گفته شده است؛ از جمله اینكه وی اهل صور و ساكن شام بوده، كار نجاری داشته، و در میان یونانیان كسی به جامعیت او ظهور نكرده، و كتابی جامع مانند اصول او پدید نیامده است. ریاضی‌دانان پس از وی ــ چه یونانی، چه مسلمان ــ سخنان او را تكرار كرده، یا به شرح آثار او پرداخته، و احیاناً اشكالاتی بر او وارد ساخته‌اند. در هر صورت، همگان فضل او را مسلم شمرده، و بر ارجمندی آثار او گواهی داده‌اند (ابن‌ندیم، 325؛ صاعد، 28- 29؛ قفطی، 62-63؛ ابن عبری، 63). اما برخی از این سخنان و از جمله آنچه به زادگاه و تبار و شغل وی مربوط می‌شود، چنانكه پژوهشگران غربی نیز نشان داده‌اند، پایۀ درستی ندارد و به ویژه نقل قول ابن ندیم و قفطی از كندی، دربارۀ اینكه گویا اصول هندسه در اصل تألیف آپولونیوس بوده، و اقلیدس به فرمان یكی از ملوك اسكندریه، تحریر تازه‌ای از آن فراهم آورده، خلط تاریخی است و احتمالاً از اشتباه در ترجمۀ مقدمۀ هوپسیكلس بر كتاب چهاردهم اصول، سرچشمه گرفته است (ابن‌ندیم، 325-326؛ صاعد، قفطی، همانجاها؛ هیث، 356؛ «فرهنگ»، IV / 438).
در منابع اسلامی همچنین اقلیدس را به عنوان مردی حكیم شناخته، و سخنان حكمت‌آمیز از او روایت كرده‌اند (شهرستانی، 122-123).

آثار

1. اصول. اثر عمدۀ اقلیدس مجموعۀ اصول است. از شرح مفصلی كه پروكلس بر كتاب اول اصول نوشته است، این آگاهی به دست می‌آید كه پیش از اقلیدس، دست كم 3 اثر با همین عنوان ــ نوشتۀ بقراط خیوسی (ح 440 ق‌م)، لئون (ح 370 ق‌م) و ثئودیوس ماگنسیایی (340 ق‌م) ــ به عنوان كتابهای درسی آكادمی افلاطون، وجود داشته‌اند. به نظر می‌رسد كه اقلیدس، به ویژه از دو اثر اخیر، به عنوان الگو در تألیف اثر خویش بهره گرفته، و البته معلومات تازه‌تر و نیز یافته‌های خود را بر آنها افزوده، و نظم بهتری به آنها بخشیده است. اقلیدس همچنین از آثار ائودوكسوس و ثئایتتوس استفاده كرده است. اما در هر صورت، روشن است كه اثر اقلیدس، بر آثار ریاضی پیش از وی برتری داشته است؛ هیچ یك از آثار مشابهی نیز كه پس از وی تألیف شده، به پای آن نرسیده است، به طوری كه اصول اقلیدس در مدت بیش از دو هزار سال حاكم بلامنازع جهان ریاضیات بود و هیچ اثر دیگری نتوانست عنوان مهم‌ترین اثر ریاضی در سراسر تاریخ را از آن بستاند. این اثر از 1482 م تاكنون بیش از دو هزار بار به چاپ رسیده است («فرهنگ»، IV / 414, 423-424؛ شرایبر، 27, 32؛ ایوز، 114).
از اصول اقلیدس هیچ نسخه‌ای اصلی یا نزدیك به دوران مؤلف به دست نیامده است. اما گذشته از شرح مفصل پروكلس بر اصول ــ كه اصل یونانی آن بر جا مانده است ــ چند تن از دانشمندان یونانی، مانند گِمینوس (سدۀ 1ق‌م)، اهرون اسكندرانی (سدۀ 1ق‌م) فرفوریوس (سدۀ 3م)، پاپوس (سدۀ 4م) و سیمپلیكوس (سدۀ 6م) شرحهایی بر این اثر نوشته‌اند كه اصل یونانی آنها از میان رفته، اما ترجمۀ عربی بخشهایی از آنها بر جا مانده است. همچنین تحریر دیگری كه ثئون اسكندرانی در سدۀ 4م از اصول فراهم آورده، در دست است. چاپهای جدید این اثر، برپایۀ همین تحریر تهیه شده‌اند. در ابتدای سدۀ 19م در كتابخانۀ واتیكان نسخۀ كهن‌تری به دست آمد كه با نسخۀ ثئون تفاوت اندكی دارد. پژوهش در آنچه از شرحهای كهن باقی مانده، و بررسی دقیق نصوص منقول و آنچه به عنوان شرح بر آنها افزوده شده است، نشان می‌دهد كه شارحان در تعریفها، بیان اصول متعارفه و اصول موضوعه تغییراتی داده‌اند، اما گزاره‌ها و اثبات آنها به طور عمده به همان صورتی كه اقلیدس نوشته است، باقی مانده‌اند. در عین حال، این نكته روشن است كه آنچه به عنوان اصل نوشتۀ اقلیدس تلقی می‌شود نیز، نه تنها در محتوا، بلكه در شیوۀ نگارش هم برگرفته از آثار ریاضی‌دانان پیشین است، به طوری كه از راه بررسیهای زبان‌شناختی می‌توان سرچشمه‌های آنها را نیز یافت (هیث، 360؛ ایوز، همانجا؛ «فرهنگ»، IV / 414-416؛ شرایبر، 27, 32, 76).
اصول شامل 13 كتاب است. هر كتاب شامل یك سلسله تعریف، گزاره یا مسأله است. كتاب اول افزون بر اینها، شماری اصول موضوعه و اصول متعارفه را نیز در بر می‌گیرد. در 6 كتاب نخست به هندسۀ مسطحه پرداخته می‌شود. كتاب اول به علت اهمیت تاریخی برخی تعریفها و اصول موضوعه و اصول متعارفه كه در آن مطرح شده‌اند، و نیز در برداشتن شماری از معروف‌ترین گزاره‌های هندسی، ازجمله قضیۀ فیثاغورس، از همه مهم‌تر به شمار می‌رود و از دوران باستان تا عصر حاضر ــ چه در مغرب زمین، چه در جهان اسلام ــ بیش از بخشهای دیگر محل توجه ریاضی‌دانان بوده، و مورد بحث و بررسی قرار گرفته است.
برخی از تعریفها چنینند: 1. نقطه آن است كه هیچ جزء ندارد؛ 2. خط درازای بدون پهناست؛ 3. دو انتهای خط نقطه‌اند؛ ... 23. خطوط راست موازی، خطوط راستی هستند كه در یك صفحه قرار دارند و اگر هر دو جهت به طور نامحدود ادامه داده شوند، در هیچ یك از دو جهت یكدیگر را قطع نخواهند كرد (اقلیدس، 1-2).
اصول موضوعه، یعنی پایه‌های اثبات‌ناپذیر دانش هندسه، از این قرارند: 1. می‌توان از هر نقطه به نقطۀ دیگر، خط راستی رسم كرد؛ 2. می‌توان هر خط راست متناهی را به شكل پیوسته امتداد داد؛ 3. می‌توان به هر مركز و با هر شعاع دایره‌ای رسم كرد؛ 4. همۀ زوایای قائمه با یكدیگر برابرند؛ 5. هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع كند، به طوری كه در یك سوی آن خط، دو زاویۀ درونی كه مجموع آنها كوچك‌تر از دو قائمه باشد، تشكیل شود، آن دو خط اگر امتداد یابند، در همان سو یكدیگر را قطع خواهند كرد (همو، 2).
اصول متعارفه، یعنی احكامی كه هر ذهن معقول آنها را درست و بی‌نیاز از اثبات می‌یابد، و برخلاف اصول موضوعه، منحصر به هندسه نیستند و در همۀ علوم استدلالی معتبرند، از این قرارند: 1. چیزهایی كه با چیز دیگر برابر باشند، با یكدیگر نیز برابرند؛ 2. اگر چیزهای برابر به چیزهای برابر افزوده شوند، مجموعها برابر خواهند بود؛ 3. اگر چیزهای برابر از چیزهای برابر كاسته شوند، حاصلها برابر خواهند بود؛ 4. چیزهایی كه بر یكدیگر منطبق شوند، با یكدیگر برابرند؛ 5. كل از جزء بزرگ‌تر است.
در برخی نسخه‌های این اثر، شمار اصول متعارفه 9 است، اما پژوهشگران به حق، 4 اصل از آنها را الحاقی شمرده‌اند. از سوی دیگر در برخی نسخ نیز اصول موضوعۀ 4 و 5 در شمار اصول متعارفه درآمده‌اند. همچنین از آنجا كه تعریف شمارۀ 23، پایۀ نظریۀ توازی را در بردارد، تنی چند از ریاضی‌دانان این تعریف را نیز به اصول متعارفه الحاق كرده‌اند. نتیجه آنكه در برخی مآخذ شمار اصول متعارفه به 11 و 12 رسیده است (همانجا؛ كانتور، I / 277؛ پاولی، VI(1) / 1016).
در دوران كنونی در بسیاری از كتابهای تاریخ ریاضیات، تعریفات اقلیدس را ضعیف‌ترین بخش اصول می‌شمارند. گفته می‌شود كه آنچه اقلیدس در این زمینه مطرح ساخته، و از جمله آنچه در تعریف نقطه و خط و توازی خطوط گفته است، یا از دیدگاه منطق ریاضی، یا از نظر منطق صوری و یا هر دو، تعریفات واقعی به شمار نمی‌روند. اینگونه داوریها را نمی‌توان به طور كامل پذیرفت؛ نخست از آن رو كه توضیح و تعریف مقولاتی كه در هر زمینه مورد بررسی قرار می‌گیرند، حتى اگر از دیدگاه منطق ریاضی زائد به شمار روند، از دیدگاه آموزشی ضروریند. از سوی دیگر، كاملاً آشكار است كه اقلیدس در این تعریفات، دیدگاههای ریاضی‌دانان پیشین را نیز در نظر داشته است. جالب توجه است كه وی، پس از تعریف نقطه به عنوان «آنچه هیچ جزء ندارد»، بار دیگر در تعریف 3 آن را به عنوان «دو انتهای یك خط» می‌شناساند. در تعریف دوم، گذشته از آنكه ارتباط نقطه و خط مطرح گردیده، در عین حال، از تعریف كهن‌تری استفاده شده است كه ارسطو آن را به عنوان یك تعریف غیر علمی مردود شمرده بود. عین این سخن را دربارۀ تعریف توازی نیز می‌توان گفت (اقلیدس، 1-2؛ پاولی، VI(1) / 1015؛ «فرهنگ»، IV / 416, 421, 433؛ شرایبر، 35-36).
در اصول موضوعه دیده می‌شود كه نقطه و خط راست و دایره و زاویۀ قائمه، پایه‌های هندسۀ اقلیدس را تشكیل می‌دهند. اصل نخست در عین حال به این معنی نیز هست كه میان دو نقطه، تنها یك خط راست می‌توان رسم كرد، و اصل دوم به این معنی است كه هر پاره خط راست، در هر یك از دو انتها، تنها در یك راستا می‌تواند امتداد یابد. اصل سوم، از آنجا كه در آن از «هر شعاع» سخن گفته شده، مستلزم عدم تناهی فضاست. اصل چهارم از دیدگاه ریاضیات امروزی زائد شمرده می‌شود، زیرا برابری زوایای قائمه قابل اثبات است، اما باید توجه كرد كه این اثبات تنها با فرض یك نواختی فضا و ثابت ماندن زوایا در تغییر مكان ممكن می‌شود. اقلیدس ترجیح داده است به جای توسل به این فرض، برابری زوایای قائمه را اصل موضوع قرار دهد (ص 2؛ «فرهنگ»، IV / 415-417؛ شرایبر، همانجا).
اصل پنجم بی‌گمان نشانۀ نبوغ شگرف اقلیدس است. در یونان باستان دربارۀ ضرورت یا عدم ضرورت پذیرفتن این فرض كه به شكل چشم‌گیری پیچیده بیان شده است، به عنوان اصل موضوع یا اصل متعارف (اثبات‌ناپذیر یا بی‌نیاز از اثبات)، مناقشات و مجادلات بسیاری جریان داشت. از دانشمندان یونانی گمینوس و پُسیدونیوس (سدۀ 1 ق‌م)، بطلمیوس (سدۀ 2م)، پروكلس (سدۀ 5م) و سیمپلیكوس، و در سده‌های بعد بسیاری كسان دیگر در جهان اسلام، آن را قابل اثبات و بدین‌سان به‌عنوان اصل موضوع زائد شمردند و در اقامۀ برهان بر آن به تلاشهای بسیار برخاستند.
در حقیقت همۀ آنانكه خود را در این تلاش كامیاب یافته‌اند، در جریان اثبات از فرضی بهره جسته‌اند كه خود با اصل پنجم هم‌ارز بوده است. اینگونه تلاشها تا سدۀ 19 م همچنان ادامه داشت. در سدۀ 18 م، ساكری مسألۀ پیامد فرض نادرستی اصل پنجم را مطرح ساخت. بدین معنی كه كوشید با فرض نقیض اصول توازی به تناقضی دست یابد كه البته توفیق نیافت؛ اما كار او در همین حد متوقف ماند و خود او نیز مانند دیگر ریاضی‌دانان، هندسۀ اقلیدس را تنها هندسۀ ممكن می‌شمرد. سرانجام درپی كوششهای كارل فریدریش گاوس، نیكلای لوباچفسكی و یانوش بولیویی، كار به كشف هندسه‌های نااقلیدسی انجامید. بدین‌سان، ماهیت اصل پنجم به عنوان فرضی اثبات‌ناپذیر (نه بی‌نیاز از اثبات) كه در نوعی از فضا (فضای اقلیدسی) صادق است، آشكار گردید. برخی از پژوهشگران از این احتمال نیز سخن گفته‌اند كه ریاضی‌دانان یونانی نیز به امكان منطقی هندسۀ نااقلیدسی پی برده بوده‌اند و اقلیدس با فرض اصل پنجم، آگاهانه یكی از دو نظریۀ هندسی منطقاً ممكن را برگزیده است و این خود یكی از نشانه‌های نبوغ اوست (اقلیدس، همانجا؛ خیام، 6؛ نصیرالدین، تحریر الاصول، 4، 16-22؛ كانتور، I / 277-278؛ «فرهنگ»، IV / 417, 424, V / 346؛ شرایبر، 20, 35, 72).
گزاره‌های كتاب اول با چگونگی رسم یك مثلث متساوی الاضلاع بر روی یك پاره خط آغاز می‌شود. گزارۀ ما قبل آخر آن گزارۀ فیثاغورس است كه یكی از جالب‌ترین مسائل هندسه به شمار می‌رود و طی آن ثابت می‌شود كه در مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر برابر مجموع مربعات دو ضلع دیگر است (اقلیدس، 2-29). كتاب دوم در زمینۀ جبر هندسی است و در آن شماری مسائل هندسی كه با معادلات جبری درجه دو هم‌ارزند، حل می‌شوند. در گزارۀ 13 ثابت می‌شود كه در هر مثلث با اضلاع a و b و c رابطۀ   (A= زاویۀ روبه‌روی ضلع a) برقرار است. این رابطه در حقیقت تعمیم گزارۀ فیثاغورس است (همو، 30-40).
در كتاب سوم، دایره‌ها و نقاط تقاطع و تماس آنها با یكدیگر و خطوط قاطع و مماس و زوایای مربوط به آنها مطرح می‌شوند (همو، 41-66). در كتاب چهارم گزاره‌ها و مسائل مربوط به رسم مثلث، مربع، 5 ضلعی، 6 ضلعی و 15 ضلعی منتظم محاطی و محیطی اثبات و حل می‌شوند (همو، 67-80). در كتاب پنجم، گزاره‌های مربوط به نظریۀ تناسب ائودوكسوس، به كمك اشكال هندسی ثابت می‌شوند. ریاضی‌دانان تعریفهای این كتاب را جالب یافته، و دربارۀ آنها بحث بسیار كرده‌اند. شایان ذكر است كه
تعریف نسبتهای برابر   و نابرابر   در مورد كمیتهای هم نوع از سوی ائودوكسوس، از بزرگ‌ترین دستاوردهای ریاضیات پیش از اقلیدس بوده است و كاربرد آن از سوی اقلیدس تحولی جهش وار به شمار می‌رود. وی در تعریف 3 گوید: «نسبت، رابطۀ معینی است میان اندازه‌های دو كمیت هم نوع»، اما «رابطۀ معین» مبهم و قابل چندگونه تأویل است؛ پس آن بیان در واقع تعریف مقولۀ نسبت نیست و اقلیدس نیز در این كتاب به شكل مستقیم از آن استفاده نكرده است. در تعریف 4 اندكی به مقصود نزدیك‌تر می‌شود: «هنگامی كه دو كمیت در صورت چند برابر شدن بتوانند از یكدیگر فراتر روند، می‌گوییم آن دو با یكدیگر نسبتی دارند». آنچه حیرت‌آور است، این است كه این تعریف كمیتهای بی‌نهایت كوچك و بی‌نهایت بزرگ را در بر نمی‌گیرد و به دشواری می‌توان تصور كرد كه مقصود اقلیدس (یا ائودوكسوس) نیز همین بوده باشد؛ در عین حال كسانی نیز این فرض را بعید نشمرده‌اند (اقلیدس، 81؛ «فرهنگ»، IV / 419؛ شرایبر، 16, 46). تعریف 5 از همه جالب‌تر است: «در صورتی گفته می‌شود كمیتها با یكدیگر بر یك نسبتند، ]مثلاً[ نخستین نسبت به دومین، و سومین نسبت به چهارمین كه هرگونه مضرب برابر از اولی و سومی، و هرگونه مضرب برابر از دومی و چهارمی در نظر گرفته شوند، مضربهای دو كمیت نخستین (اولی و سومی) به ترتیب از مضربهای دو كمیت آخری (دومی و چهارمی) به طور همسان بزرگ‌تر، برابر یا كوچك‌تر باشند». دربارۀ این تعریف سخنان بسیار گفته، و توضیحات فراوان عرضه كرده‌اند. حتى گفته می‌شود كه در تاریخ ریاضیات آزمون دیگری كه به اندازۀ آن رضایت بخش باشد، عرضه نشده است (اقلیدس، همانجا؛ پاولی، VI(1) / 1022-1023؛ «فرهنگ»، همانجا).
در كتاب 6 از گزاره‌هایی كه در كتاب 5 به اثبات رسیده‌اند، برای حل مسائل مربوط به اشكال هندسی متشابه استفاده می‌شود. در گزارۀ یكم ثابت می‌شود كه نسبت مساحت مثلثها و متوازی الاضلاعهایی كه ارتفاع برابر داشته باشند، به یكدیگر، برابر نسبت قاعده‌های آنهاست. در گزاره‌های 9-13، مسائلی مانند تقسیم خطوط به نسبتهای معین، تعیین مقدار مجهول در معادلاتی همچون   و   و   (واسطۀ هندسی) حل می‌شوند (همۀ این كمیتها به شكل پاره خط نمایش داده شده‌اند). گزارۀ 27، به گفتۀ كانتور، كهن‌ترین مورد به جا ماندۀ محاسبۀ ماكزیمم در تاریخ ریاضیات است. در این گزاره ثابت می‌شود جملۀ x(a-x) به ازای   بزرگ‌ترین مقدار ممكن را خواهد داشت (اقلیدس، 99-100, 125-126؛ كانتور، I / 266؛ پاولی، VI(1) / 1026-1027).
كتابهای 7-9 به دانش حساب و نظریۀ اعداد اختصاص یافته‌اند. ارتباط تنگاتنگ میان این بخشهای اصول، اقلیدس را بر آن داشته است كه تعریفات مربوط به مسائل طرح شده در آنها را یكجا در مقدمۀ كتاب 7 بیاورد. در این كتابها، مسائلی مانند بخش‌پذیری اعداد، یافتن كوچك‌ترین مضرب مشترك، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترك، نسبت میان اعداد، تصاعد هندسی و اعداد اول، مطرح می‌شوند. در گزارۀ 12 كتاب 9، شاید برای نخستین بار در تاریخ ریاضیات از برهان خلف استفاده شده است. در گزارۀ 20 همین كتاب، ثابت می‌شود كه شمار اعداد اول بی‌نهایت است (اقلیدس، 127-190؛ كانتور، I / 268؛ پاولی، VI(1) / 1028-1029؛ شرایبر، 41). در كتاب 10 اعداد گنگ و ریشۀ دوم آنها بررسی می‌شوند. بسیاری از ریاضی‌دانان، این كتاب را جالب توجه‌ترین بخش اصول شمرده‌اند (اقلیدس، 191-300؛ پاولی، VI(1) / 1030-1033؛ ایوز، 120).