اعداد و ارقام

اَعْدادْ وَ اَرْقام، اعداد مجموعۀ نامهایی است كه برای شمارش یا اندازه‌گیری چیزها به كار می‌رود و ارقام مجموعۀ علامتهایی است برای نشان دادن اعداد.
اعداد در نوع مقدماتی خود زاییدۀ فكر بشر برای شمردن اشیاء است. ابوریحان بیرونی در بخش «شمار» التفهیم پیش از تعریف عدد، «یكی» یا واحد شمارش را چنین تعریف كرده است: «یكی چیست؟ آن است كه یگانگی بر او افتد و بدو نام زده شود و از تمامی وی آن است كه كمی و بیشی نپذیرد و از حال خویش به ضرب و قسمت نگردد و اندر قوت همۀ عددهاست و همۀ خاصیتهای ایشان ... ». او سپس عدد را چنین تعریف كرده است: «عدد چیست؟ جمله‌ای است از یكها گردآمده و از این جهت یكی را از عدد بیرون آوردند و گفتند كه عدد نیست، زیرا كه [جمله ای گرد آمده از یكها] نیست» (ص 33-34). همان‌گونه كه مشاهده شد، در روزگاران گذشته، «یك» عدد محسوب نمی‌شده است. از همین تعریف نیز برمی‌آید كه «صفر» نیز عدد نیست، چنانكه مدتهای مدید برای نشان دادن صفر نشانه‌ای نیز مقرر نشده بود. ضمن آنكه این تعریف تنها دربارۀ اعداد طبیعی صدق می‌كند؛ در حالی كه خود بیرونی نیز عددهای كسری و حتى عددهای گنگ را در شمار اعداد یاد می‌كند. مفهوم عدد در طول تاریخ بسط یافته است و تعریف ریاضی كنونی اعداد و اقسام آن كه مطابق فرم كنونی ریاضیات و منطق باشد، خارج از حدود مورد نظر در این مقاله است. از آنجا كه برای نمایاندن اعداد به یك دستگاهِ شمار (سیستم عدد نویسی) و شماری شكل (رقم) نیاز است، نخست از شیوه‌های اقوام باستانی در این باره و سپس دربارۀ مجموعه‌های مختلف اعداد یا «زوج اعداد» بحث می‌شود.

ارقام و دستگاه شمار مصری

در مصر باستان اعداد در یك «دستگاه شمار بدون ارزش مكانی» و به صورت مجموعه‌ای از اعداد 1، 10، 100، ... و 000‘000‘1 نوشته می‌شدند. برای نشان دادن ارزش مراتب مختلف نیز یكی از این اشكال به كار می‌رفت:

به عنوان مثال عدد 486‘375‘2 بدین صورت نگاشته می‌شد:

یعنی برای نشان دادن ضریب مرتبۀ دهدهی مربوط به هر مرتبه، نشانۀ آن مرتبه به شمار مورد نظر تكرار می‌شد. در واقع در دستگاه شمار مصری، ارقام برای نشان دادن مرتبۀ اعداد، و نه ضریب این مراتب به كار می‌رفتند. در این سیستم ترتیب گذاردن علامات اهمیت نداشت، اما مصریها می‌كوشیدند كه زیباترین ترتیب را برگزینند.

ارقام و دستگاه شمار بابلی

اقوام قدیم بین‌النهرین اعداد را با خط میخی نمایش می‌دادند. آنان اعداد را در «دستگاه شمار شصتگانی (پایۀ 60) با ارزش مكانی»، می‌نوشتند. اما هر یك از 59 رقم این دستگاه شمار به نوبۀ خود تنها با دو نشانۀ  ، یعنی در یك «دستگاه شمار دهگانی بدون ارزش مكانی»، نگاشته می‌شد. بابلیها این نشانه‌ها را در كنار یا بالای یكدیگر می‌نوشتند.

 
در دستگاه شمار بابلی هیچ نشانه‌ای برای نمایاندن «صفر» وجود نداشت. آنان بیشتر برای مراتبی كه ضریب آنها صفر بود، یك جای خالی در نظر می‌گرفتند. این امر موجب می‌شد كه مقدار دقیق یك رقم تنها با بررسی محاسبات معلوم گردد. مثلاً این عدد:

 
ممکن بود                                                                                                                                    64=4+(60×1)=4 ,1
یا 604‘3=4+(60×0)+(602×1)=4 ,0, 1

یا 002‘216=4+(60×0)+(602×0)+(603×1)=4, 0, 0, 1

خوانده شود. آنها معمولاً مراتب مختلف شصتگانی را با نشانه‌ای از یكدیگر جدا می‌كردند. مثلاً 10، 6، 5 در دستگاه شصتگانی برابر 370‘18 در دستگاه دهگانی (=10+(60×6)+(602×5)) است.

 ارقام و دستگاه شمار یونانی

یونانیها تقریباً از 500 ق‌م هر یك از 27 حرف الفبای خود را به ترتیب برای نشان دادن یكی از اعداد 1 تا 9، و مضارب 10 و 100 این اعداد به كار می‌بردند. بدین سان آنها ناچار بودند برای مرتبۀ هزارگان و بالاتر، از نشانه‌های اضافی سود برند. در این سیستم نیز مانند سیستم مصری ارزش ارقام مختلف با یكدیگر جمع می‌شد.

در میان مسلمانان دستگاه شماری بسیار شبیه به سیستم فوق، موسوم به حساب جُمَّل رایج بود كه در آن از حروف ابجد (ه‍ م) استفاده می‌گردید.

ارقام و دستگاه شمار رومی

رومیها از این علامتها برای ارقام خود استفاده می‌كردند:

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000                

در واقع تفاوت میان ارقام و دستگاه شمار رومی و مصری در وجود نشانه‌ای مستقل برای اعداد 5، 50 و 500 در سیستم رومی بود. همچنین در این دستگاه اگر ارقام، I، X یا C به ترتیب در سمت چپ اولین دو رقم بزرگ‌تر از خود (V و X، ... ) قرار می‌گرفتند، عدد كوچك‌تر از عدد بزرگ‌تر كاسته می‌شد، اما اگر در سمت راست آن قرار می‌گرفت، مانند سیستم مصری عمل می‌شد. به عنوان مثال 1-5=IV و 1+5=VI. همچنین هیچ یك از ارقام (بجز M) بیش از 3 بار از پی هم نمی‌آمدند. به طور مثال عدد 4 به صورت IV نوشته می‌شد و نه IIII و در این سیستم عدد 999‘4 به شكل MMMMCMXCIX یعنی مجموع اعداد 4000)، (MMMM)، 900 (CM)، 90 (XC) و 9 (IX) نوشته می‌شد (و نه به صورت MMMMIM=1-1000+4000).

 ارقام و دستگاه شمار هندی

یكی از شاهكارهای ریاضیات هند، «دستگاه شمار دهگانی با ارزش مكانی» یعنی همان دستگاه شمار رایج كنونی است. نخستین نشانه‌های بهره‌گیری از دستگاه اعشاری هندی (البته به صورتی ابتدایی) به 300 سال پیش از میلاد برمی‌گردد. در این زمان هندیها مانند یونانیان برای اعداد 1 تا 9 و 10، 20، 30، ... تا 90 هجده حرف از الفبای براهمی را به كار می‌بردند.

همچنین دو نشانۀ   و   به ترتیب برای نشان دادن اعداد 100 و 1000 به كار می‌رفت. در این سیستم برای نشان دادن مضارب اعداد مثلاً نشان دادن اعدادی مثل 200، 300، ... یا 000‘2، 000‘3، ... همان روش مصری به كار می‌رفت (یعنی ضرایب یك تا 9 در كنار دو رقم 100 و 000‘1 به كار می‌رفتند).
نخستین نشانه‌های به كارگیری سیستم شمار با ارزش مكانی به حدود سدۀ 6 م باز می‌گردد. در یك مدرك اهدایی، تاریخی با ارقام براهمی به این صورت نوشته شده است:

تفاوت میان این شكل عددنویسی با شیوۀ عددنویسی امروزی تنها در شكل ارقام به كار رفته، و نیز به كارگیری رقم صفر برای نشان دادن مراتب خالی است. سیر تغییرات پیش آمده در شكل ارقام را می‌توان در این نمودار مشاهده كرد:

 
ارقام هندی ـ اسلامی

معلوم نیست كه مردم خاورمیانه از چه زمانی با ارقام هندی آشنایی پیدا كرده‌اند. احتمالاً دستگاه مكانی اعشاری از طریق جاده‌های كاروان رو به خاور نزدیك رسیده است. شاید این تحول در دورۀ ساسانیان (224-641 م)، یعنی هنگامی كه میان ایران، مصر و هند روابط نزدیكی برقرار بوده، صورت گرفته باشد. مردم این مناطق احتمالاً در این زمان با سیستم عددنویسی رایج در بین‌النهرین نیز آشنا بوده‌اند. كهن‌ترین مأخذ نگاشته شده در خارج از هند كه در آن اعداد با دستگاه شمار هندی ثبت شده، یكی كتابی از یك اسقف سوری به نام سوروس سبخت و دیگری ترجمۀ عربی سیدهانتا (سند هند)، از ابراهیم بن حبیب فزاری (ترجمه: 156 ق/773 م) است. پس از ترجمۀ این اثر مهم نجومی هند، دستگاه شمار هندی به سرعت در میان مسلمانان رواج یافت. هر چند كه در كنار این سیستم، به كارگیری حساب جُمّل رایج بود. اما آشنایی اروپاییها با دستگاه شمار هندی ـ اسلامی احتمالاً در اوایل سدۀ 13 م و از طریق روایات لاتین كتاب حساب محمد بن موسى خوارزمی، ریاضی‌دان پرآوازۀ ایرانی، موسوم به الجمع و التفریق بحساب الهند (تألیف: 210 ق/825 م) كه كهن‌ترین كتاب عربی نوشته شده دربارۀ حساب به شمار می‌رود، حاصل شده است. اصل عربی كتاب از میان رفته، اما براساس دو شرح لاتینی موجود این كتاب، روشن گشته كه این كتاب نه ترجمۀ یك متن هندی، كه جمع‌بندی برخی از آثار هندیها دربارۀ حساب بوده است. در این كتاب از دستگاه شمار دهگانی با ارزش مكانی، 4 عمل اصلی، تضعیف (دو برابر كردن)، تنصیف (نصف كردن)، چگونگی محاسبه با كسرهای شصتگانی و روش گرفتن جذر از اعدادطبیعی و كسرها بحث شده است.

نظریۀ اعداد

یونانیان درست برخلاف مصریها و بابلیها بیشتر به جنبه‌های علمی و نظری ریاضیات توجه داشتند. فیثاغورس (د ح 500 ق‌م) و پیروان او، برای اعداد خواصی سحرآمیز قائل بودند. آنان برای هر عدد تعبیری در نظر می‌گرفتند. مثلاً اعداد زوج را مؤنث و اعداد فرد را مذكر و عدد 5 را كه كوچك‌ترین حاصل جمع دو عدد زوج و فرد بود، نماد زناشویی می‌پنداشتند.
در واقع فیثاغورس و پیروان او را می‌توان پیشگامان بسط نظریۀ اعداد ــ كه از خواص آنها بحث می‌كند ــ به شمار آورد. اینك تعریف سادۀ چند مجموعه از اعداد:

اعداد طبیعی

مجموعۀ اعداد 1، 2، 3، 4، ... را مجموعۀ اعداد طبیعی می‌نامند. نخستین آن عدد یك است. با افزودن عدد یك به هر عضو مجموعه، عضو بعدی به دست می‌آید. ابوریحان بیرونی در این باره چنین گفته است: «عددهای طبیعی كدامند؟ آنند كه ابتدا از یكی كنند و زیادت یك یك همی كنند، چون 1، 2، 3، 4، 5، ... و نیز آن را عددهای متوالی خوانند، اَی یك از پس دیگر» (البته ابوریحان در اینجا باز هم یك را در شمار اعداد نمی‌داند، نك‍ : ص 34).
اعداد گویا (منطق): اعدادی هستند كه بتوان آن را به صورت   (a و b اعداد صحیح، و b#0) نشان داد.
اعداد گنگ (اصم): یا به تعبیر بیرونی (نك‍ : ص 42) «كَر»، اعدادی هستند كه نمی‌توان آنها را به صورت كسر   (a و b اعداد صحیح، و b#0) نشان داد.
نخستین خاصیتی كه دربارۀ اعداد طبیعی مطرح می‌شود، زوج یا فرد بودن آنهاست (نك‍ : همو، 34، كه عدد 3 به عنوان نخستین عدد فرد آمده است). در اینجا به برخی زیر مجموعه‌های اعداد طبیعی كه دارای خواصی مهم باشند، اشاره می‌شود:

اعداد اول

اعدادی هستند صحیح و بزرگ‌تر از یك كه جز برخود و بر یك، بر عدد دیگری قابل قسمت نباشند. اعداد صحیح بزرگ‌تر از یك كه اول نباشند، مركب خوانده می‌شوند. به طور مثال عدد 19 اول است و عدد 21 مركب؛ زیرا عدد 21 افزون بر 21 و 1، بر 7 و 3 نیز قابل قسمت است.
شمار اعداد اول، همانگونه كه اقلیدس نیز در كتاب IX اصول خود بدان اشاره كرده، بی‌نهایت است. برای به دست آوردن اعداد اول كوچك‌تر از عدد مفروضی مانند n از روش غربال منسوب به اراتوستنس یا اراتستن (273-192 ق‌م) استفاده می‌شود (برای توضیح این روش، نك‍ : مصاحب، 2/77-81). دربارۀ اعداد اول هنوز هم مباحث بسیار و بعضاً لاینحلی وجود دارد كه از آن جمله می‌توان به چگونگی توزیع فراوانی اعداد اول اشاره كرد.
فیثاغورسیان اعداد مصور، اعداد تامّ و اعداد متحاب را می‌شناخته‌اند كه در اینجا از آنها یاد می‌شود:

 
اعداد مصور

شامل اعداد مثلثی، مربعی و مخمسی است. این اعداد مجموع n جملۀ نخست از یك تصاعد حسابی هستند.

در این مقاله پس از این فقط دربارۀ اعداد طبیعی با زیر مجموعه‌ای از آنها بحث می‌شود و همه جا منظور از «اجزاء یك عدد طبیعی» همۀ مقسوم علیه‌های آن بجز خود آن عدد است.

اعداد تامّ

عدد طبیعی a را تام گویند هر گاه (a)´σ (یعنی مجموع اجزاء عدد a)، برابر خود a باشد. مانند عدد 6 كه مقسوم علیه‌های كوچك‌تر از 6 آن عبارتند از: 1، 2 و 3 و داریم: (6)=1+2+3=6´σ
اقلیدس (ز ح 300 ق‌م) در كتاب IX اصول ثابت می‌كند كه اگر برای هر n صحیح و مثبت 2n-1 یك عدد اول باشد، آنگاه (2n-1)2n-1 یك عدد تام خواهد بود. برخی از دیگر اعداد تام عبارتند از 28، 496، 8128، ... .

اعداد ناقص

اعدادی را گویند كه از مجموع اجزاء خود بزرگ‌تر باشد. مانند عدد 8 كه 8>4+2+1.

اعداد زاید

اعدادی را گویند كه از مجموع اجزاء خود كوچك‌تر باشد. مانند عدد 12 كه 12<6+4+3+2+1.

اعداد متحاب

دو عدد صحیح مثبت را متحاب گویند، هر گاه مجموع اجزاء هر یك برابر دیگری باشد. مثال: دو عدد 220 و 284 را متحاب نامند، زیرا:

284=110+55+44+22+11+20+10+5+4+2+1=(220)´σ
 220=142+71+4+2+1=(284)´σ

كشف این جفت عدد متحاب را به فیثاغورس نسبت می‌دهند. قاعده‌ای برای تعیین برخی از اعداد متحاب را ثابت بن قره (221- 288 ق) به دست آورده كه با فرم امروزی بدین قرار است:
اگر دو عدد   و   اول باشند، و عدد   نیز عددی اول باشد، آنگاه دو عدد   و   زوجی متحابند. به ازای 2=n داریم: 220=a، و 284=b و به ازای 4=n دو عدد متحاب 18416=a و 17296=b به دست می‌آیند (ووپكه، 420-429). این زوج را كمال‌الدین فارسی در تذكرة الاحباب فی بیان اعداد التحاب یاد كرده است. ابن بنای مراكشی (نك‍ : داك، 2/500-504)
نیز تقریباً همزمان با كمال‌الدین فارسی، ضمن تكرار دستور ثابت بن قره (البته با بیانی دشوارتر)، همین زوج را دوباره به دست آورده، و در المسائل فی العدد التام و الناقص و الزائد ذكر كرده است. مدتها بعد و در 1636 م پیر دو فرما نیز به همین زوج دست یافت (نك‍ : جعفری، «تاریخ ... »، 55-56, 75؛ ووپكه، 428-429؛ قربانی، 40-41، 56- 59). به ازای 7=n دو عدد متحابب 9437056=b و 9363584=a توسط محمد باقر یزدی (زنده در 1047 ق/1637 م) به دست آمده، و در كتاب اصول عیون الحساب آورده شده است. این جفت عدد چند سال بعد به وسیلۀ دكارت دوباره به دست آمد.

اعداد متعادل

گفتنی است كه این اعداد تا چندی پیش در غرب ناشناخته بوده‌اند و نگارندۀ این مقاله در عیون الحساب محمد باقر یزدی به آن دست یافت.
براساس مباحث این كتاب نظریه‌ای ساخته شد، اما بعدها معلوم شد كه ابومنصور بغدادی (د 429 ق/ 1038 م) مدتها پیش از یزدی در كتاب التكملة فی الحساب دربارۀ این اعداد بحث كرده است.
تعریف: اگر a و b دو عدد طبیعی باشند، این دو عدد را متعادل گویند هر گاه مجموع اجزاء آنها با هم برابر باشند. یعنی σ´(a)=σ´(b).
مثال: دو عدد 39 و 55 را متعادل گویند. زیرا:

σ´17=13+3+1=(39) و σ´17=11+5+=(55)

محمدباقر یزدی خاصیت زیر را ثابت كرده است: فرض كنیم

n=p1 + p2 =q1 + q2

كه در آن p1، p2، q1 و q2 اعداداول غیراز 2هستند q1 # q2 و p1 #p2 در این صورت اعداد p1 p2 و q1 q2 متعادلند. یعنی

σ´(p1p2)= σ´(q1q2)

اثبات این تساوی آسان است، زیرا طرف راست برابر است با q1+q2+1 و طرف چپ برابر است باp1+p2+1.
در اینجا بی‌مناسبت نیست كه حدس كریستیان گلدباخ (1690-1764 م) را یادآوری كنیم. فرض كنیم   و n>6 و زوج باشد؛ در این صورت می‌توان نوشت: n=p1+p2 كه در آن p1 و p2 دو عدد اول متمایزند.
در مثال محمدباقر یزدی داریم: 11+5=13+3=16
پس 13×3=39 و 11×5=55 متعادلند. در این تنها مثال محمدباقر یزدی، n به صورت توانی از 2 (زوج الزوج) است.
مثال دیگری از ابومنصور بغدادی: 43+13=53+3=56
پس دو عدد 53×3=159 و 43×13=559 متعادلند. در مثال ابومنصور بغدادی n به صورت   است. ابومنصور بغدادی و یزدی روش دیگری را برای پیداكردن اعداد متعادل بررسی نكرده‌اند، ولی قواعد پیشنهادی آنان برای ساختن اعداد متعادل قابل توجه است:
1. فرض می‌كنیم p1، p2، q1 و q2 اعداد اولی باشند و
p1#p2، q1#q2 و a=p1p2، b=q1q2
در این صورت تعادل زیر برقرار است:

σ´(a)= σ´(b)p1+p2=q1+q2

به زبان دیگر، شرط لازم و كافی برای اینكه a و b متعادل باشند، این است كه p1 + p2 =q1 + q2
به عنوان مثال:

σ´(13×5)=σ´ (11×7)
18=11+7+13+5
 

2. فرض می‌كنیم p و q دو عدد اول باشند و p#2 و a=2p و b=q2. در این صورت این تعادل برقرار است:

σ´(a)= σ´(b)q-p=2

به زبان دیگر: شرط لازم و كافی برای اینكه a و b دو عدد متعادل باشند، این است كه p و q اعداد اول توأمان باشند، زیرا اگر σ´(a)= σ´(b) آنگاه داریم: 1+p+2q+1= در نتیجه 2 q-p= و برعكس اگر 2 q-p=، آنگاه داریم:  
در نتیجه a و b متعادلند. مثال: اولین و دومین زوج متعادل از این نوع عبارتند از: (52 و 3×2) و (72 و 5×2)
یعنی زوجهای (25، 6) و (49، 10)
3. فرض كنیم p1 و p2 دو عدد اول فرد باشند و n عددی صحیح و بزرگ‌تر از 1 و   و   در این صورت تعادل زیر برقرار است:

زیرا
  ؛
در نتیجه داریم:
 
مثال: اولین و دومین زوج متعادل از این نوع عبارتند از: (5×22 و 19×2) و (3×22 و 13×2) یعنی زوجهای (20، 38) و (12، 26).

از آنجا كه بغدادی نیز مدعی كشف اعداد متعادل نیست، به نظر می‌رسد كه آنها را در یك اثر ریاضی دیگر یافته باشد (نك‍ : جعفری، «تاریخ»، جم‍ ، «نوعی جدید ... » 125-139).

مآخذ

بیرونی، ابوریحان، التفهیم لاوائل صناعة التنجیم، به كوشش جلال‌الدین همایی، تهران، 1317 ش؛ داك؛ قربانی، ابوالقاسم، فارسی نامه، تهران، 1363 ش؛ مصاحب، غلامحسین، تئوری مقدماتی اعداد، 1358 ش؛ نیز:

Djaʿfari Naini, A., Geschichte der Zahlentheorie im Orient, Braunschwig, 1982; id, «A New Type of Numbers ...», Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1983, vol. VII; Woepcke, F.,«Notice sur une théorie ajouteé par Thābit ben Korrah ... », JA, 1852, vol. XX.
علیرضا جعفری نائینی