ابن الهیثم

وینبغي التذکیر أننا ولأجل إثبات کل واحدة من المعادلات الأربع أعلاه، بحاجة إلی المعادلات التي سبقتها في (16)، وأن المعادلات الثلاث الأولی کانت معروفة قبل ابن الهیثم الذي أثبت المعادلة الرابعة بهدف المساعدة في إثبات اللامتساویتین (14) و (15) لأول مرة وبشکل دقیق. ویمتاز إثباته هذا أکثر ما یمتاز بصبغة هندسیة، وهو في حقیقته إحلال لمعادلات (16) في الطرف الأیسر للامتساویتین (14) و (15) بعد تبسیطهما.

لدینا في الشکل 6: = حجم المتبقي الداخلي – V

= الحجم الناتج عن دوران الجزء المرقَّن حول المحور JB

وبما أن CB هو قوس في القطع المکافئ فیمکن کتابة:

ولدینا من (19)، (20) و (21):

وبالنتیجة وبما أن المعادلتین (22) و (23) ناتجتان عن تقسیم JB إلی متساویین، نلاحظ أنه بعد تقسیم JB إلی متساویین ، لدینا:

= حجم المتبقي الداخلي – V

و لدینا من (14) و (´22):

ومن (15) و (´23) لدینا:

 حجم المتبقي الخارجي + V

ومع الأخذ بنظر الاعتبار

وکذلک (´´22) و (´´23) لدینا:

(24) حجم المتبقي الداخلي –V

(25) حجم المتبقي الخارجي + V

وهنا افترض ابن الهیثم أن

وأخذ بنشر الاعتبار حالتین:

الحالة الأولی:

وفي هذه الحالة نفرض أن

وفي النتیجة یکون S عدداً موجباً. إذن توجد m واحدة، بحیث تکون

 ، إذن لدینا لـ :

(´25) حجم المتبقي الداخلي

وبطبیعة الحال فإن المقصود بحجم المتبقي الداخلي في (´25) هو مایناظر تقسیم JB إلی متساویین. ومن (´25) لدینا:

 حجم المتبقي الداخلي - V

وهذه اللامتساویة تتناقض مع (24). وهذا التناقض یبین أن الحالة الأولی غیرممکنة.

الحالة الثانیة:

نفرض مرة أخری أن

وأن m واحدة موجودة بحیث یکون لدینا: لکل :

(26)

 حجم المتبقي الخارجي

وبطبیعة الحال فإن المقصود بحجم المتبقي الخارجي في (26) هو مایناظر تقسیم JB إلی متساویین.

ومن (26) لدینا: حجم المتبقي الخارجي + V

وهذه اللامتساویة تتناقض مع (25). وهذ التناقض یبین أن الحالة الثانیة أیضاً غیرممکنة. إذن استنتج ابن الهیثم أن:

وبطبیعة الحال فإنه بحسب الأشکال الحدیثة بواسطة حساب التکامل یکون الحجم الناتج عن دوران القوس BC في القطع المکافئ ABC حول محور مجموعة حرف x (الشکل 7) مساویاً لـ:

والحجم الناتج عن دوران المستطیل CB حول محور مجموعة حرف x، مساویاً لـ:

وعلی هذا

المسألة 5: الحجم الناتج عن دوران الجزء المرقَّن في الشکل 8 حول المحور ZB مساوٍ لحجم أسطوانة مستدیرة قائمة ارتفاعها QB ونصف قطر قاعدتها هو الحد الفاصل بین النقطة T والخط ZB (جدیر بالذکر أنه في الشکل 8، تم اختیار النقاط d, Q, B, Z, T والخط L والقطع المکافئ ACB کما في الشکل 4).

وهنا لاتبین إثبات ابن الهیثم لهذه المسألة، لکن نقوم بما قمنا به في المسألة 2:

وفي النتیجة تکون المسافة بین مرکز ثقل الجزء المرقن في الشکل 8 والخط BZ (مع الأخذ بنظر الاعتبار أن معادلة الخط BZ عبارة عن ) مساویة لـ:

وفي النتیجة وطبقاً لمبرهنة پاپوس فإن الحجم الناتج عن دوران الجزء المرقن حول المحور BZ (أي V) عبارة عن المسافة المقطوعة بواسطة مرکز الثقل مضروبة في المساحة المرقنة، أي:

إذن یکون حجم الأسطوانة المطلوبة في المسألة مساویاً لـ:

المسألة 6: الحجم الناتج عن دوران الجزء المرقن في الشکل 9 حول المحور ´AQ، مساوٍ لحجم أسطوانة مستدیرة قائمة نصف قطرها یساوي المسافة بین النقطة T و الخط AQ´، وارتفاعها مساوٍ لـ AQ´ (في الشکل 9 اختیرت النقطة T والخط L والقطع المکافئ ACB کما في الشکل 4. والخطان L و AQ متوازیان، و TQ´ موازٍ لمحور القطع المکافئ). ویمکن أن نعرض مایشبه المسألة 5 حیث یکون حجم الأسطوانة المطلوبة مساویاً لـ:

والحجم الناتج عن دوران الجزء المرقن في الشکل 9 مساویاً لـ

والموضوع الآخر الذي سیبحث هنا هو مسألة تدعی مسدلة ابن الهیثم التي أثبتها هو في القسم الخامس من کتاب المناظر. والملفت للنظر أن هذه المسألة قد شغلت العلماء لما یقرب من 600 سنة دون أن یتمکنوا من العثور علی طریقة جدیدة لحلها. وأخیراً وجد علماء الریاضیات في القرن 17 م ومن بینهم هویغنز (1629-1695م) طرقاً جدیدة لحلها:

والمسألة کما یلي: نفرض نقطتین مثل A و B (A نقطة مضیئة، و B هي عین الناظر) ولدینا سطح صقیل مثل S. والمطلوب جمیع نقاط S بحیث یسقط الضوء من النقطة A علی S ویمر من النقطة B.

وتؤدي هذه المسألة إلی المسألة التالیة في حالة المرایا المستدیرة والأسطوانیة.

نفرض دائرة مرکزها O. تقع النقطتان A و B داخلها (أو خارجها). والمطلبو تعیین جمیع النقاط مثل C علی الدائرة بحیث یکون لدینا:

في الشکل 10، افترضنا A و B داخل الدائرة. وهنا یمکن أن نتصور أن A نقطة مضیئة، و B هي عین الناظر، وأن الشعاع الذيمرّ بـ A وسقط علی سطح المرآة الصقیل (الذي فرض أنه داخل کرة أو أسطوانة) ووصل إلی عین الناظر في النقطة B، قد سقط علی الدائرة (المرآة) في النقطة C. أثبت ابن الهیثم أن النقاط A, Q, B إن لم تکن علی مستوی واحد، و (قد فرض في الشکل أن ، وهذا مافرض في البحث أدناه أیضاً. إن حالة کانت قد حُلت قبل ابن الهیثم علی ید بطلمیوس)، وفي هذه الحالة (هوخند ایک، 108-109؛ أیضاً ظ: الشکل 11)، إذا رسمنا منصف الزاویة لیقطع الدائرة في النقطتین E و F، فإن القطرین اللذین یمران من A و B إضافة إلی القطر EF یقسمان الدائرة المذکورة إلی ستة أقواس کما في الشکل 11 (الأقواس I إلی VI). أثبت ابن الهیثم أنه توجد علی القوس II (عدا نقطتي انتهاء E و J) نقطة C واحدة علی وجه الدقة، بحیث تتحقق العلاقة (28). کذلک توجد علی القوس V علی وجه الدقة، نقطة C واحدة أیضاً . بحیث تتحقق العلاقة (28). وعلی القوسین III و IV لاتوجد نقطة C التي تنطبق علی (28)، وأخیراً وعلی القوس VI (عدا نقطتي انتهاء G و H) یکون عدد نقاط C التي تصدق علی أو 1 أو 2، وهذا العدد یختلف حسب موقعي A و B. وطریقة ابن الهیثم لإثبات هذه المسألة معقدة جداً وطویلة وصعبة. ولهذا السبب، نوردهنا هذه الطریقة رغم أنها – وخاصة في عصر ابن الهیثم- تعد عملاً ریاضیاً کبیراً. إلا أن من المناسب أن نعرف کیف یمکن بالطرق الحدیثة إثبات وجود نقطة مثل C علی القوس II في الشکل 11 یصدق علی (28). وقد کتبنا تفاصیل المسألة تحت الشکل 12 بشکلها الریاضي. إن الشرط اللازم والکافي لکي تصدق النقطة (Sint و Cost)C;r علی (28) هو أن یکون المستقیم OC منصفاً

 للزاویة BCA، وهذا معادل لأن یتحقق التساوي (29):

إذن التابع المرتبط لـ في النقطة صفر و موجب، وفي النقطة سالب، إذن النقطة الواقعة بین صفر و تساوي صفراً. أي أن هناک علاقة موجودة بحیث أن ، أي ( أي أن (30) قائمة ، وفي النتیجة فإن (29) التي تعادل مع (30)، قائمة وبالنتیجة یثبت وجود نقطة مثل C علی القوس II في الشکل 11 الذي یصدق علی (28). وینبغي الانتباه إلی أنه من أجل الوصول إلی إثبات سریع لوجود C الذي یصدق علی (28)، یکفي ملاحظة أن:

ومن الواضح أن (30) تقدم جمیع الأجویة الممکنة للمسألة لـ ،

ألف کتاب ابن الهیثم المناظر الذي حلت فیه المسألة أعلاه علی أساس کتابي الضوء لأقلیدس و بطلمیوس لکن و کما ورد کنموذج في

المسألة أعلاه، فإن هذا الکتاب یضم موضوعات جدیدة وإثباتات حدیثة. استخدم الکتاب المذکور من قبل یوهانس کپلر. دحض ابن الهیثم نظریة بطلمیوس وأقلیدس القائلة إن ضوءاً ینطلق من العین إلی الجسم، واعتبر

اتجاه الأشعة منطلقاً من الجسم نحو العین. وأثبت ابن الهیثم في هذا الکتاب أن الأشعة المنبعثة والأشعة المنعکسة والخط العمودي علی سطح المرآة في نقطة سقوط الأشعة علی المرآة، تقع جمیعها علی سطح واحد وتصنع بالعمود المذکور زوایا متساویة (ظ: الشکل 13، حیث AQ هي الأشعة المنبعثة، و OB هي الأشعة المنعکسة، و O هي موضع سقوطها علی المرآة، و OL عمود علی المرآة في النقطة O. أولاً: إن OA و OB و OL تقع جمیعها علی سطح واحد؛ ثانیاً: ). ویتضح من التحقیقات والدراسات التي تمت حتی الآن في المخطوطات الباقیة من ابن الهیثم أنه تناول في علم الفلک المسائل الفرعیة وطرق حلها بشکل أکبر والتي تتمتع بطبیعة الحال بالأهمیة (ومن بینها التحدید الدقیق لسمت القبلة وارتفاع النجوم)، والتي لم تبلغ مستوی عظمته في الریاضیات والفیزیاء (الضوء).

المصادر

ابن أبي أصیبعة، أحمد، عیون الأنباء، تقـ: أغوست مولر، القاهرة، 1299هـ/ 1882م؛ ابن العبري، غریغوریوس، تاریخ مختصر الدول، بیروت، 1958م؛ ابن الهیثم، الحسن، الشکوک علی بطلمیوس، تقـ: عبدالحمید صبرة و نبیل الشهابي، الاقهرة، 1971م؛ البخیت، محمد عدنان: فهرس المخطوطات العربیة المصورة، الأردن، 1406هـ/1986م؛ البیهقي، علي، تتمة صوان الحکمة، تقـ: محمدشفیع، لاهور، 1351هـ؛ الزرکلي، الأعلام؛ الشهرزوري، محمد، نزهة الأرواح، تقـ: خورشید أخمد، حیدرآبادالدکن، 1396هـ/ 1976م؛ صاعد الأندلسي، طبقات الأمم، تقـ: لویس شیخو، بیروت، 1912م؛ صبرة، عبدالحمید، مقدمة الشکوک (ظ: همـ، ابن الهیثم)؛ القفطي، علي،تاریخ الحکماء، اختصار الزوزني، تقـ: یولیوس لیبرت، لایبزک 1903م؛ نظیف بک، مصطفی، الحسن بن الهیثم، القاهرة، 1942م؛ وأیضاً:

Ahlwardt; GAL; GAS; Hogendijk, J. P., Ibn al Haytham’s Completion of the Conics, Berlin, 1985; Khalidov; Loth, Otto, A Catalogue of the Arabic Manuscripts in the Libray of the India Of fice, Leipzig, 1877; Sabra, A. I., «Ibn al Haytham», Dictionary of Scientific Biography, New York, 1972, vol. VI; Schoy, Carl, «Abhandlung des al-Ḥasan ibn... al-HaiƁam... über die Bestimmung der Richtung der Qibla», ZDMG, Leipzig, 1921, vol. LXXV; Schramm, Mathias, Ibn al-Haythams Weg zur Physik, Wiesbaden, 1963; Widemann, E., Gesammelte Schriften zur arabisch-islamischen Wissenscha ftsgeschichte, Frankfurt, 1984; Voorhoeve.

علي‌رضا جعفري نائیني/ هـ.