بنی موسی

اینک نظری به محتوای این آثار: 

الف ـ آثار از میان رفته

(دربارۀ محتوای برخی از آثار از میان رفتۀ بنی موسى براساس اطلاعات منابع دیگر می‌توان حدسهایی زد): 
1. الشكل المدور المستطیل: این كتاب به احتمال زیاد همان است كه احمد بن موسى در مقدمۀ مخروطات از آن سخن می‌گوید. به گفتۀ او، حسن بن موسى برای فهم مطالب مخروطات آپولونیوس به تحقیق دربارۀ مقطع استوانه با صفحه‌ای كه با قاعدۀ آن موازی نباشد، پرداخت و خواص این مقطع (یعنی بیضی) و خواص قطرها و محورها و وترها و نیز راه ‌اندازه‌گیری مساحت آن را به دست آورد. از این راه وی موفق شد كه خواص اساسی بیضی را شخصاً كشف كند. پس از آن ثابت كرد كه در برابر هر بیضی كه از تقاطع استوانه با صفحه‌ای ناموازی با قاعدۀ آن به دست آید، یك بیضی وجود دارد كه از تقاطع سطحی مخروطی با یك صفحه به دست می‌آید (ص 625-626)؛ آنگاه كتاب الشكل المدور المستطیل را در این باره نوشت. 
چون بنی موسى در تحریر مخروطات آپولونیوس همواره بیضی را «قطع ناقص» نامیده‌اند، از عنوان «شكل مدور مستطیل» شاید بتوان نتیجه گرفت كه حسن بن موسى، در زمان نوشتن این رساله، هنوز درست كتاب مخروطات را نمی‌شناخته است. چیزی كه این گمان را تقویت می‌كند، این است كه نام‌گذاری 3 قطع مخروطی به «قطع مكافی» و «قطع زائد» و «قطع ناقص» احیاناً از ابتكارات آپولونیوس است (پیش از او این 3 قطع را، براساس روشی كه برای تولید آنها به كار می‌رفت، به ترتیب «مقطع مخروطِ قائم الزاویه»، مقطع مخروطِ منفرجة الزاویه» و «مقطع مخروط حادة الزاویه» می‌نامیدند) و با روش او در تعریف این قطوع كه مبتنی بر مفهوم اقلیدسی «بنا كردن سطوح» است، ارتباط دارد («زندگی‌نامه ...»،I/185 ). بنابراین، اختیار نام «دایرۀ كشیده» برای بیضی، به دلیل روش متفاوتی است كه حسن بن موسى برای تولیدِ بیضی اختیار كرده بوده است. وی بیضی را به صورت مقطع یك استوانه با صفحه‌ای ناموازی با قاعدۀ آن تعریف می‌كند، نه مانند آپولونیوس به صورت مقطع یك مخروط با صفحه‌ای كه بر محور آن عمود نباشد و مولدهای مخروط را در یك سوی رأس آن قطع كند. پس می‌توان گفت كه در این رسالۀ گمشده، حسن بن موسى خواصی را كه برادرش از آن سخن می‌گوید، با روشی متفاوت با روش آپولونیوس به دست آورده بوده است، هر چند معلوم نیست كه قضایای او تا چه حد كلیت داشته‌اند. احتمالاً حسن بن موسى رسالۀ سرنوس آنتینوپولیسی با عنوان «دربارۀ مقطع استوانه» را می‌شناخته است (راشد، الریاضیات،I/6)؛ به ویژه كه به روایت احمد بن موسى، یكی از مطالب كتاب الشكل المدور المستطیل اثبات این نکـته بوده كه مقطع استوانه با یك صفحۀ مایل همان مقطع مخروط با صفحه مایل، یعنی بیضی است و این یكی از مطالبی است كه سرنوس هم در كتابش اثبات كرده، و بر ضد كسانی كه نظری خلاف آن داشته‌اند، برهان آورده است (هیث، II/519؛ «زندگی نامه»،XII/314 ) .
در مورد مساحت بیضی نیز روشن نیست كه حسن بن موسى برای یافتن آن از چه روشی استفاده كرده بوده است. پیش از او مساحت بیضی در قضایای 4 تا 6 كتاب «دربارۀ كره وارها و مخروطوارها»ی ارشمیدس با استفاده از روش افنا محاسبه شده (هیث، II / 57-58)، و مقدار   برای آن به دست آمده بود (در این رابطه،   نسبت به محور كوچك بیضی به محور بزرگ آن، و   مساحت دایرۀ كمكی بیضی است)؛ اما این كتاب جزو آثاری كه مسلمانان از ارشمیدس می‌شناختند، نیست و در زمان بنی موسى جز «دربارۀ تربیع دایره» و مقالۀ اول از «دربارۀ كره و استوانه» چیزی از او به عربی ترجمه نشده بود (راشد، «علم ...»، 2؛.(GAS, V / 121-122 بنابراین، باید 
گفت كه حسن بن موسى مساحت سهمی ‌را مستقیماً و احیاناً با كاربردِ روش ارشمیدسی افنا ــ كه آن را از راه ترجمۀ «دربارۀ تربیع دایره» می‌شناخته ــ محاسبه كرده بوده است. به هر حال، مساحت بیضی جزو قضایای كتاب سرنوس نیست (هیث،II / 519-522 ).
همین مقدار آگاهی از كتاب از دست رفتۀ الشكل المدور المستطیل بر جایگاه بلندِ حسن بن موسى در تاریخ ریاضیات گواهی می‌دهد. وی می‌توانست مستقلاً به تحقیق در یكی از پیشرفته ترین مباحث ریاضیات آن زمان بپردازد و قضایای مهمی‌را در این زمینه ثابت كند. 
احمد بن عبدالجلیل سجزی (ریاضی‌دان قرن 4ق/10م) رساله‌ای به نام الدائرة المستطیله به بنی موسى نسبت داده، و خلاصه‌ای از روش ایشان در رسم بیضی با استفاده از خاصیت دو كانونی آن (ثابت بودن مجموع فاصله‌های هر نقطه از بیضی از دو كانون آن) نقل كرده است (راشد، الریاضیات، همانجا). به احتمال زیاد این كتاب همان الشكل المدور المستطیل است. به اعتقاد راشد، كتاب حسن بن موسى منبع اصلی ابن سَمْح (ه‍ م)، ریاضی‌دان ‌اندلسی قرنهای 4 و 5ق/10و11م در كتابی دربارۀ مقطع استوانه با یك صفحه است كه بخشی از آن در نسخه‌ای به خط عبری محفوظ مانده است (راشد، همانجا). خاصیت دو كانونی بیضی را آپولونیوس ثابت كرده بوده، و رسم بیضی به شیوۀ معروف به شیوۀ باغبانان را آنْتِمیوس ترالِسی در قرن 6م می‌شناخته است (هیث، و بعضی از دانشمندان اسلامی‌ مانند ابن‌سهل (قرن 4ق/10م) نیز از آن آگاه بوده‌اند (راشد، «هندسه ...»، مقدمه،.(26 
2. القَرَسْطون: از این كتاب تاكنون نشانی به دست نیامده، اما از ثابت بن قره كتابی به همین نام باقی مانده است (ابن‌ابی‌اصیبعه، 1 / 219؛ نیز نک‍ : مل‍ ، جاویش). گذشته از این، قسطا بن لوقا (نک‍ : ابن ندیم، 353) و ابن هیثم (نک‍ : ابن ابی اصیبعه، 2 / 98) نیز كتابهایی به این نام داشته‌اند. جاویش به گمان اینکـه این اثر را اول بار پیر دوئم و اشتاین اشنایدر به ابن هیثم نسبت داده‌اند، در وجود آن تردید كرده است (ص 2، نیز حاشیۀ4)، ولی تردید او بجا نیست. وجود آثاری چند با این نام دلالت بر وجود زمینۀ پژوهشی مشتركی دارد كه احیاناً با كتاب بنی موسى شروع شده، و در آثار ثابت و قسطا ادامه یافته است. واژۀ قرسطون كه اصل آن ناشناخته است ــ جاویش احتمال می‌دهد كه این واژه ریشۀ فارسی یا ارمنی داشته باشد (ص 11) ــ به معنای ترازوی رومی ‌یا قپان است، یعنی میله‌ای كه از یك نقطه در طول خود آویزان شود و در یك سر آن وزنه‌ای باشد و جسمی‌ را كه می‌خواهند وزن كنند از سر دیگر بیاویزند. دستاورد بزرگ ثابت در رسالۀ قرسطون این است كه برخلاف اسلاف یونانی خود وزن میله را هم در نظر می‌گیرد، در حالی كه در نوشته‌های اسكندرانی در این زمینه میلۀ قپان بدون وزن محسوب می‌شده است. به این ترتیب، مسألۀ اصلیِ كتاب ثابت ــ كه در قضیۀ 4 آن بررسی شده است (ص 152-154) ــ هم ارز با محاسبۀ گشتاور یك بار گسترده نسبت به یك نقطۀ ثابت (نقطۀ تعلیق میله) است. چون بنی موسى نخستین كسانی هستند كه رساله‌ای با نام قرسطون به ایشان نسبت داده شده است، بعید نیست كه تحقیقات ثابت در زمینۀ محاسبۀ گشتاورِ بار گسترده ادامه تحقیقاتی باشد كه در محفل علمی ‌بنی‌موسى آغاز شده بوده است. 

ب ـ آثار موجود

1.مساحة الاكر و قسمة الزوایا بثلاثة اقسام متساویة و وضع مقدار ]ین[ بین مقدارین لتتوالی علی نسبة (در اصل: قسمة) واحده: این نامی ‌است كه احتمالاً ابن ندیم، یا مأخذِ او از روی مطالب این رساله بر آن نهاده است. اصل این رساله از بین رفته، و تنها تحریری كه نصیرالدین طوسی از آن به عمل آورده، و نیز ترجمۀ لاتینی گراردوس كرمونایی از آن در دست است. گذشته از این، تكۀ كوچكی از این رساله در ضمن اثری دیگر باقی مانده است. از مقایسۀ این منابع می‌توان نتیجه گرفت كه گراردوس در ترجمه امین بوده، و تصرفاتی كه نصیرالدین طوسی در تحریر خود به عمل آورده است، در حدی نیست كه رساله را از صورت اصلی زیاد دور كرده باشد؛ نیز «در سراسرِ بازنویسی، در صفحاتی كه جنبۀ ریاضی محض دارند، نصیرالدین نه در انتقال معنی تصرفی كرده است، و نه در مجموع در انتقال لفظ» (نک‍ : راشد، الریاضیات، .(I/9این رساله در تحریر نصیرالدین معرفة مساحة الاشكال البسیطة و الكریة نام دارد و ترجمۀ لاتینی آن به «گفتار پسران موسى پسر شاكر، یعنی محمد و احمد و حسن» (كلاگت، I/238) معروف است. دور نیست كه رساله در اصل نامی ‌نداشته، یا به همان نام «كتاب بنی موسى» یا «مقالۀ بنی‌موسى» معروف بوده كه در عنوان لاتینی به verba ترجمه شده كه به اعتقاد كلاگت ترجمۀ واژۀ «كتاب» است، هر چند شاید بیشتر بتوان احتمال داد كه این واژه ترجمۀ «قول» یا «مقاله» باشد (همانجا). 
این رساله كه مهم‌ترین اثر ریاضیِ بازمانده از بنی موسى، و یكی از نخستین آثار مهم ریاضیات دوران اسلامی ‌است، مشتمل بر یك مقدمه و 18 قضیه است. از آن میان، 15 قضیه یا به محاسبۀ سطح و حجم اَشكال اختصاص دارند، یا به عنوان قضایای فرعی برای این منظور به كار رفته‌اند و 3 قضیۀ دیگر با این موضوع ارتباط مستقیمی‌ندارند. 
بنی موسى در مقدمه مفاهیم طول و عرض و ارتفاع (سَمْك) را تعریف می‌كنند و در تعریف عرض و ارتفاع قید می‌كنند كه این دو بُعدند، نه طول؛ یعنی در جهتی غیر از جهت طول ممتدند، هر چند عمود بودن 3 بعد بر یكدیگر را در تعریف داخل نمی‌كنند. آنگاه به تعریفِ واحدِ طول و واحدِ سطح و واحدِ حجم می‌پردازند و در مورد واحدهای سطح و حجم، این دو را به ترتیب به مربع و مكعبی تعریف می‌كنند كه هر یك از اضلاع آنها به طول واحد و بر هم عمود باشند. در این تعریف، بنی موسى راه خود را از سنت اقلیدسی و ارشمیدسی جدا كرده‌اند، زیرا این دو همواره حجم و مساحت یك شكل را نسبت به شكل داده شدۀ دیگری می‌سنجند و مفهوم واحد ‌اندازه‌گیری در آثار ایشان دیده نمی‌شود. 
قضایای 18گانه رساله شامل این مباحث است: 
الف ـ اثبات فرمولهایی برای سطح دایره، و سطح و حجم مخروط و كره: در قضیۀ 4 بنی موسى فرمول مساحت دایره را ثابت می‌كنند. روش ایشان در اثبات این قضیه هر چند متأثر از روش ارشمیدس در رسالۀ «دربارۀ تربیع دایره» است كه امروزه روش افنا خوانده می‌شود، با آن تفاوتهای مهمی ‌دارد. روش افنای ارشمیدسی مبتنی بر قضیۀ 5 از مقالۀ دهم اصول اقلیدس است كه به موجب آن «هرگاه از كمیتِ مفروضی (طول یا سطح یا حجم) نصف یا بیشتر از نصف آن را برداریم و از باقی مانده هم نصف یا بیشتر از نصف آن را كم كنیم، و این عمل را ادامه دهیم، سرانجام كمیتی باقی می‌ماند كه از كمیت داده شدۀ مفروضی دیگر كوچك تر است». بنی موسى به جای این قضیه از دو حكم استفاده می‌كنند كه در قضیۀ 3 رسالۀ ایشان ثابت شده است. به موجب این دو حكم، هرگاه دایره ای به محیطp و پاره خطی به طول l داشته باشیم،

(1) اگر l

(2) و اگرl>p باشد، آن گاه می‌توان بر دایره چند ضلعی‌ای به محیط q_n محیط كرد به طوری كه

همان گونه كه نصیرالدین در تحریر خود اشاره كرده است، این دو حكم مبتنی بر وجود دایره ای است كه محیط آن مساوی با پاره خط مفروضی باشد (راشد، الریاضیات، .(I/68-69

این دو حكم كه درواقع همان كار اصل افنا را انجام می‌دهند، به بنی موسى اجازه می‌دهند كه از یك سو با استفاده ضمنی از قضیۀ 16 مقالۀ دوازدهم اصول اقلیدس عمل «حدگیری» را كه حساس‌ترین مرحله در روش افناست دور بزنند (همان،I/38؛ «زندگی نامه»، I/443-446) و از سوی دیگر، قضایای مربوط به محاسبۀ سطح را به محاسبۀ محیط، و قضایای مربوط به محاسبۀ حجم را به محاسبۀ سطح تبدیل كنند. و به عبارت دیگر بُعدِ این محاسبات را یك درجه كاهش دهند. به زبان امروزی، بنی‌موسى با این كار محاسبۀ انتگرالی دوگانه را به محاسبۀ انتگرالی ساده و محاسبۀ انتگرالی 3گانه را به محاسبۀ انتگرالی دوگانه تبدیل می‌كنند.هر چند نتیجه‌ای كه بنی موسى در قضیۀ 4 می‌گیرند، همان نتیجه‌ای است كه پیش از ایشان ارشمیدس در قضیۀ 1 «دربارۀ تربیع دایره» به دست آورده بوده، اما به زبان متفاوتی بیان شده است كه تأثیر نوآوریهای جدید ریاضی آن زمان را نشان می‌دهد. بنی موسى بر پایۀ دو حكمی‌ كه قبلاً در قضیۀ 3 ثابت كرده‌اند، ثابت می‌كنند كه S، مساحت دایره‌ای به محیطl و شعاع r از رابطۀr.l   = S به دست می‌آید، در حالی كه ارشمیدس این حكم را به این صورت بیان می‌كند كه مساحت دایره‌ای به محیطl و شعاعr برابر است با مساحت مثلث قائم‌الزاویه‌ای كه یك ضلع مجاور به زاویۀ قائمه‌اشl و ضلع دیگر r باشد. به عبارت دیگر، بنی موسى سطح (و در مورد اَشكال 3 بعدی، حجمِ) هر جسم را به صورت یك حاصل ضرب بیان می‌كنند، نه به صورت معادل با سطح یا حجم مفروض. در ریاضیات یونانی به كار بردن چنین فرمولهایی فقط وقتی مجاز بود كه شعاع دایره و محیط آن (یعنی مقدار تقریبی محیط آن) به صورت عددی داده شده بود؛ در نتیجه، چنین فرمولهایی تنها در آثاری چون متریكای هرون اسكندرانی یافت می‌شد (نک‍ : هیث، II / 320؛ «زندگی‌نامه»،VI / 314-315). كه به هندسۀ عملی اختصاص داشت، در حالی كه در هندسۀ برهانی (از آن نوع كه در آثار اقلیدس و ارشمیدس دیده می‌شود) معمولاً مساحت هر شكل را براساس مساحت یك شكل دیگر بیان می‌كردند. اینکـه بنی‌موسى مساحت اشكال را به صورت حاصل ضرب بیان می‌كنند، نشان می‌دهد كه ایشان نسبت به ریاضی‌دانان یونانی تصور گسترده‌تری از عدد دارند و بالمآل هر طولی را قابل بیان با یك عدد می‌دانند؛ و این امر تأثیر علمِ نوپای جبر را كه‌ اندكی پیش از ایشان به دست محمد بن موسى خوارزمی ‌بنیان‌گذاری شده بود، نشان می‌دهد. 
در قضیۀ 6 بنی موسى مقدارِ نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد π) را به همان روش ارشمیدسی، یعنی از راه محیط‌كردن و محاط‌كردن n2×6 ضلعیهای منتظم در دایره به دست می‌آورند و به نامساوی   >π <  می‌رسند كه مقدار تقریبی 14 / 3 = π را به دست می‌دهد. بنی موسى می‌افزایند كه این روش را می‌توان ادامه داد و مقدار π را با هر تقریب دلخواهی به دست آورد. در قضایای 9 و 11 بنی موسى سطح و حجم مخروطِ قائم و نیز سطح و حجم مخروطِ ناقص را به دست می‌آورند. روش آنها در همۀ این موارد همان تبدیل انتگرال‌گیری دوگانه به انتگرال‌گیری ساده، و تبدیل انتگرال 3 گانه به انتگرال دوگانه است. 
در قضیۀ 14 ثابت می‌شود كه سطح نیم كره دو برابر سطح دایرۀ قاعدۀ آن است. در اثبات این قضیه بنی موسى مجموعه‌ای از مخروطهای ناقص و یك مخروط كامل را طوری می‌سازند كه در نیم كره‌ای محاط، و بر نیم كرۀ دیگری محیط باشند، به طوری كه قاعدۀ بزرگ‌ترین مخروط روی سطح زیرینِ نیم كرۀ محیطی، و قاعدۀ كوچكِ هر مخروط قاعدۀ بزرگ مخروط بعدی باشد. از این نظر، روش ایشان با روش اقلیدس (در قضایای 17 و 18 مقالۀ دوازدهمِ اصول) متفاوت است، زیرا اقلیدس به جای مجموعه‌ای از مخروطها مجموعه‌ای از هرمها را در كره محاط و بر كره محیط می‌كند و به این دلیل، شیوۀ اثبات او پیچیده‌تر و طولانی‌تر است (نک‍ : شكل 1، شمای روش اقلیدس؛ شكل 1، شمای روش بنی موسى). 

بنی‌موسى به همین روش حجم كره را هم در قضیۀ 15 محاسبه می‌كنند و مثل همیشه آن را به صورت یك حاصل ضرب، یعنی به صورت حاصل ضرب مساحت دایرۀ عظیمۀ كره(S) در یك سوم شعاع آن، R، به دست می‌آورند: 
R.S  =V
جز این گروه از قضایا و قضایای دیگری كه به صورت لم در اثبات آنها به كار می‌روند، در كتاب بنی‌موسى 3 قضیۀ دیگر هم ثابت شده است كه ارتباطی به محاسبۀ سطح و حجم اَشكال خمیده ندارد: 
1. فرمول هرون: در قضیۀ 7، فرمول هرون برای مساحت مثلث اثبات می‌شود، یعنی: 
  = S2
كه در آنS مساحت مثلث،p محیط، a, b, c اضلاع آن است. بنی موسى این قضیه را به هرون یا دیگری نسبت نمی‌دهند و روش اثبات ایشان نیز با روش هرون متفاوت است (راشد، «علم»،.(9 

2. تضعیف مكعب: در قضیۀ 16، بنی موسى روشی برای درج دو واسطۀ هندسی در میان دو مقدار مفروض M وN به دست می‌دهند، یعنی یافتن مقادیرX وY به گونه‌ای كه تناسبهای   برقرار باشد. روش بنی موسى كه ایشان آن را به منلائوس نسبت می‌دهند، در واقع همان روشی است كه معمولاً به آرخوتاس (قرن 4ق م) نسبت داده می‌شود (هیث، I / 246-249؛ راشد، الریاضیات، I / 50، «علم»، همانجا؛ كنور، 187). در این روش X وY مختصات نقاط تقاطع استوانه ای به معادلۀ ax = y2+ x2و مخروطی به معادلۀ a2 x2= ( z2+ y2+ x2)b2 و چنبره‌ای به معادلۀ  x2+y2+z2=a2 است. بنی‌موسى ضمن اشاره به دشواری یافتن نقطۀ تقاطع این 3 خَم، روشی مكانیكی برای به دست آوردن آن پیشنهاد می‌كنند.