اعتدالین، تقدیم

اعتدالین، تقدیم \taqdīm-e eʾtedāle(a)yn\، (به‌معنای پیش‌آمدنِ دو نقطۀ اعتدال)، پدیده‌ای که بر اثر آن، زمین پیش ‌از آنکه دوری کامل گرد خورشید بگردد، فاصلۀ میان دو اعتدال بهاری پیاپی را می‌پیماید؛ زیرا هم‌زمان با گردش زمین گرد خورشید، راستای محور چرخش زمین گرد خود و صفحۀ دایرۀ معدل‌النهار یا استوای سماوی نیز ــ که عمود بر این محور است ــ چنان تغییر می‌کند که نقاط اعتدال بهاری و پاییزی اندکی در خلاف جهت حرکت انتقالی زمین حرکت می‌کنند، چندان‌که گویی نقاط اعتدال از جای پیشین خود پیش‌تر آمده‌اند. ازاین‌رو، طول سال اعتدالی (سال خورشیدی = فاصلۀ میان دو اعتدال بهاری پیاپی) از طول سال نجومی کمتر است (در‌این‌باره، نک‍ : ه‍ د، سال). این تغییر راستا به‌سبب آنکه عامل «تقدیم» (پیش‌آمدن) نقاط اعتدال می‌شود، حرکت تقدیمی نام گرفته است.
زمیـن کـرۀ کـامل نیست و قطر استـوایی آن حدوداً 43 کمـ بیشتر از قطر قطبی است. همواره نیمی از این لبۀ برآمده سوی خورشید (نزدیک‌تر)، و نیمۀ دیگر از خورشید دور است. چون نیروی جاذبه میان اجسام با مربع فاصلۀ میان آنها نسبت عکس دارد، خورشید لبۀ برآمدۀ نزدیک‌تر را با نیرویی بیشتر جذب می‌کند. اگر محور گردش وضعی زمین بر صفحۀ دایرة‌البروج عمود بود، آن‌گاه این تفاوتِ کشش تأثیری بر چرخش زمین نمی‌گذاشت. اما این محور با محور گردش انتقالی زاویه‌ای تقریباً برابر ´27 °23 دارد (یعنی همان مقدار میل کلی یا میل اعظم). در نتیجه، این لبه‌های برآمده هیچ‌گاه در صفحۀ منطقة‌البروج قرار نمی‌گیرند، بلکه همواره نیمی از آن در جنوب منطقة‌‌البروج، و نیمی دیگر در شمال آن قرار می‌گیرد. صفحۀ مدار گردش ماه به دور خورشید نیز زاویه‌ای نزدیک به °6 با دایرة‌البروج دارد و در نتیجه نیروی جاذبۀ ماه نیز تأثیری شبیه به نیروی جاذبۀ خورشید دارد. نیروی جاذبۀ متفاوت ماه و خورشید بر این دو نیمه، گشتاوری اندک در راستای عمود بر محور گردش زمین ایجاد می‌کند که موجب می‌شود محور زمین به‌میزان ناچیزی تغییر کند. این تغییرات به‌نحوی است که اگر مبدأ دستگاه مختصات را مرکز زمین بگیریم، محور زمین دو مخروط متقابل به رأس ترسیم می‌کند که رأس آنها مرکز زمین، محورشان قطب دایرة‌البروج (محور گردش انتقالی) و مولد آن محور چرخش وضعی زمین (قطب عالم) و زاویۀ میان مولد و محور همان ´27 °23 است (برگر، جم‍ ‌). تبیین دینامیکی و مدل‌سازی ریاضی این پدیده، نخستین بار، در کتاب «اصول ریاضی فلسفۀ طبیعی» اثر نیوتن آمده است.
در نجوم کهن که زمین مرکز عالم و بی‌حرکت انگاشته می‌شد، دوایر معدل‌النهار و منطقة‌البروج ثابت بود و در نتیجه نقاط تقاطع آنها، یعنی نقاط اعتدال، نیز ثابت بود و این پدیده به «حرکت فلک ثوابت بر توالی بروج» تعبیر می‌شد. به‌عبارت دیگر، این فلک ثوابت بود که حرکتی بسیار کند در جهت حرکت خورشید (توالی بروج) داشت. اخترشناسان کهن حرکت ظاهری روزانۀ خورشید و دیگر اجرام آسمانی را حرکت شرقی یا اولی می‌نامیدند و پدیده‌ای را که امروزه تقدیم اعتدالین می‌نامیم، «حرکت غربی» یا حرکت دوم (الحرکة‌ الثانیة) و گاه فقط «حرکت کواکب ثابته» می‌نامیدند (قطان، 66-67؛ مسعودی، 25؛ نصیرالدین، التذکرة ... ، باب دوم، فصل سوم، ص 113، نیز الرسالة ... ، باب سوم، ص 18: حرکت طولی)، و گاه فقط در ضمن اشاره به دورۀ حرکت اوج ستارگان، به‌طور ضمنی، به این حرکت اشاره می‌کردند (شهمردان، 189). در این میان، ابوریحان بیرونی در پاسخ به پرسش «هر یکی را دور گردش به چند مدت تمام شود؟»، افزون بر اشاره به «گردش اوجهاء کواکب سیاره»، به «گردش جوزهر کواکب ثابته»، یعنی نقاط تقاطع مدار گردش ستارگان ثابت با معدل‌النهار، نیز اشاره دارد (بیرونی، التفهیم، روایت فارسی، 132، روایت عربی، 101)، که به مفهوم امروزین ناظر به جابه‌جایی و پیش‌آمدن نقاط اعتدال نزدیک‌تر است.
بطلمیوس در باب دوم از مقالۀ هفتم مجسطی، با نقل واژه‌به‌واژه از کتاب گم‌شدۀ «دربارۀ جابه‌جایی نقاط انقلابین و اعتدالین» هیپارخوس (ه‍ م)، آورده است که او با مقایسۀ نتیجۀ رصد خود و رصدهای تیموخاریس (ه‍ م) و آریستولوس دریافت که سماک اعـزل (آلفـا ـ سنبله)، که در روزگار او در °6 غربی از آن قرار داشت، در روزگار تیموخاریس و آریستولوس در °8 از نقطۀ اعتدال پاییزی بوده است. هیپارخوس دریافت که طول دیگر ستارگان ثابت دیگر نیز همین اندازه تغییر کرده است. بطلمیوس همچنین از دیگر کتاب گم‌شدۀ هیپارخوس با عنوان «دربارۀ طول سال» چنین نقل قول کرده است: «اگر اعتدالین و انقلابین را جابه‌جایی باشد، این جابه‌جایی نباید کمتر از یک‌صدم درجه در خلاف توالی بروج باشد و طی 300 سال نباید کمتر از °3 کمتر شود». بطلمیوس نیز با رصدهایش این جابه‌جایی نسبی ستارگان ثابت و نقاط اعتدال را تأیید کرد. او دریافت کـه طـول دایـرة‌البـروجـی ستـارۀ قلـب‌الاسد (آلفـا ـ اسد) در فاصلۀ 265 سالۀ میان رصد او و هیپارخوس ´40 °2 افزایش یافته، و از´50 °119 به ´30 °122 رسیـده است؛ که این برابر با تقریباً °1 (مقدار دقیق آن: ´´22 °1) در هر 100 سال است (بطلمیوس، VII, ii: H12-H16, pp. 327-329؛ نویگباور، I / 34, 293؛ پدرسن، 239؛ سوردلو، 152-153؛ نیز عبدالملک، مقالۀ هفتم، باب دوم، ص 136). 
البته بطلمیوس بر آن است که هیپارخوس در نتیجۀ به‌دست‌آمده تردید داشته است؛ نخست از‌آن‌روی که به درستیِ رصدهای روزگار تیموخاریس اعتماد کامل نداشت، و دیگر از‌آن‌رو که فاصلۀ زمانی میان او و تیموخاریس آن‌چنان نبود که بتوان نتیجه‌ای دقیق از مقایسۀ رصدهای آن دو روزگار به دست آورد. از این گذشته، برخی شواهد نشان از آن داشت که هیپارخوس این جابه‌جایی نسبی ستارگان و اعتدالین را فقط ویژۀ ستارگان روی دایرة‌البروج، یا حداکثر ویژۀ ستارگان واقع در نوار منطقة‌البروج (نواری با پهنای °6 در دو سوی دایرة‌البروج)، می‌دانست. بطلمیوس هم بر اساس نتایج حاصل از رصد ستارگان ثابته، که نشان می‌داد فاصلۀ [زاویه‌ای] میان آنها تغییر نمی‌کند، و هم با تکیه بر مبانی هیئتی که امروزه آن را بطلمیوسی می‌‌نامیم، این فرض را که فقط برخی ستارگان ثابت نسبت به نقاط اعتدال جابه‌جایی دارند، رد کرد. پس، بی‌گمان فلک ثوابت حرکتی داشت که بنابر مبانی طبیعیات کهن، باید چرخشی می‌بود. بطلمیوس برای آنکه محور این حرکت چرخشی را شناسایی کند، بر آن شد تا میل، بعد و طول دایرة‌البروجی را که در رصدهای مختلف برای شماری از ستارگان به دست آمده بود، با هم بسنجد. او جدولی برای میل 18 ستاره براساس رصدهای خود، هیپارخوس و تیموخاریس ـ آریستولوس تشکیل داد. تغییرات میل این ستارگان در رصدهای سه‌گانه کافی بود تا بطلمیوس دریابد محور این حرکت نمی‌تواند همان محور عالم یا محور حرکت روزانه (حرکت شرقی) باشد. زیرا اگر چنین بود، میل ستارگان ثابت می‌ماند و فقط طول آنها تغییر می‌کرد. بطلمیوس سپس بر آن شد که تغییرات احتمالی عرض ستارگان را بررسی کند. برای این کار، بطلمیوس از نتایج رصدهای مِنِلائوس در 98 م در رم، آگریپا در 92 م در بیتینیا، و رصدهایی از 294 و 283 ق‌م نیز یاری گرفت و با مقایسۀ نتایج رصدها دریافت که عرض سماک اعزل در این ‌بازۀ زمانیِ 391 ساله تغییر نکرده، درحالی‌که اختلاف طول آن در همین زمان ´55 °3 (تقریباً °1 در 100 سال) بوده است. پس، این جا‌به‌جایی را، که فقط بر طول دایرة‌البروجی و نه بر عرض ستارگان اثر می‌گذاشت، می‌توان به «گردش فلک ثوابت حول محور دایرة‌البروج» تعبیر کرد. در نهایت، بطلمیوس بر آن شد که سرعت این حرکت را با استفاده از مختصات 6 ستاره به دست آورد و نتیجه گرفت که هر 6 ستاره از روزگار هیپارخوس تا روزگـار او، ´40 °2 به‌سوی شرق جابه‌جا شده‌اند (بطلمیوس، VII, iii: H16- H34, pp. 329-338؛ نیز نک‍ : پدرسن، 239, 245).
در دورۀ اسلامی، اخترشناسان مسلمانی که در روزگار مأمون عباسی به رصد پرداختند (مشهور به «اصحاب ممتحن»)، با مقایسۀ مقدارهایی که خود برای طولهای دایرة‌البروجی چند ستارۀ مشهور به دست آورده بودند، با آنچه در مجسطی بطلمیوس آمده بود، مقدار جدیدی برای حرکت تقدیمی به دست آوردند. در دست‌نویس شمارۀ ar 927 کتابخانۀ اِسکوریال که عنوان «الزیج المأمونی الممتحن» را بر خود دارد، جدول مقدار حرکت تقدیمی برای 1، 2، 3، ... ، 30، 60، 90، 630 سال قمری آمده است (مثلاً ´´´22 ´´21 ´35 °9 برای 630 سال)، که براساس آن مقدار این حرکت برای یک سال «قمری» برابر با ´´´´45 ´´´47 ´´54 می‌شود ( الزیج ... ، 187؛ قس: کندی، 146، که با اعتماد به سطر اول ستون «مبسوطه» در این جدول، مقدار آن را ´´´´20 ´´´44 ´´54 آورده است، اما این مقدار 
با سایر اعداد همین جدول همخوانی ندارد). بر این اساس، مقدار حرکت تقدیمی °1 در هر 7 / 65 سال قمری یا 74 / 63 سال اعتدالی به دست می‌آید. شماری از اخترشناسان دورۀ اسلامی همچون صوفی بر آن بودند که اصحاب ممتحن آن را °1 در هر 66 سال اعتدالی به دست آورده‌اند. اما این مقدار را بتانی (ص 188)، چنان که خود گوید، با رصد به دست آورده است، بی‌آنکه از اصحاب ممتحن یاد کند. در هر صورت، مقدار °1 برای هر 66 سال بیش از مقدار واقعی بود، زیرا طول دایرة‌البروجی ستارگان در مجسطی (که بر آن اعتماد شده بود)، به طور متوسط °1 کمتر از مقدار درست آنها بود (اونز، 155؛ درایر، 528).
در بیشتر منابع دورۀ اسلامی، دو مقدار «هر 100 سال [اعتدالی]، یک درجه [اعتدالی]» و «هر 66 سال، یک درجه» (یک دور کامل: 000‘36 سال یا 760‘ 23 سال اعتدالی) به‌ترتیب به‌عنوان «نظر قدما» و «نظر علمای محدث» یاد شده‌اند (مثلاً بیرونی، التفهیم، روایت فارسی، 132، روایت عربی، 101؛ بتانی، همانجا؛ صوفی، 30-31؛ نصیرالدین، الرسالة، باب سوم، ص 18؛ مسعودی، 25؛ شهمردان، 189-190). اما شماری نیز افزون بر این دو دیدگاه به مقدارِ «هر 70 سال، یک درجه»، که به‌تعبیر نصیرالدین‌طوسی یافتۀ اخترشناسان محقق است ( التذکرة، باب دوم، فصل چهارم، ص 123-125)، اشاره کرده‌اند. بیرونی مقدار این حرکت را برای 897‘ 317 روز برابر با ´´´8 ´´20 ´41 °12 گرفته است ( القانون ... ، 3 / 997- 998)، که تقریباً °1 برای هر 6 / 68 سال اعتدالی (´´´29 ´´52 در سال اعتدالی) می‌شود. عبدالرحمان خازنی نیز چنان‌که در الزیج المعتبر السنجری آورده است، پس ‌از رصد 44 ستارۀ پرنور و مشهور آسمان در آغاز سال 509 ق و یافتن طول دایرة‌البروجی آنها، این مقدار را °1 در هر 68 سال قمری به دست آورد (عبدالرحمان خازنی، مقالۀ سوم، قسم سوم، باب اول).
اندازۀ حرکت تقدیمی که از دیرباز ثابت انگاشته می‌شد، نقش مهمی در تنظیم جدول ستارگان ثابت داشت. با آنکه بطلمیوس در آغاز باب چهارم از مقالۀ هفتم تأکید کرده بود که طول دایرة‌البروجی ستارگان را خود به دست آورده است (VII, iv)، بسیاری از اخترشناسان بعدی و نیز پژوهشگران تاریخ نجوم بر آن بودند که خطای یک‌درجه‌ایِ راه‌یافته در طول دایرة‌البروجی ستارگان در مجسطی آن بوده است که بطلمیوس با افزودن به‌ازای هر سال °01 / 0 به طولهای به‌دست‌آمده به‌دست هیپارخوس، طولهای یادشده در مجسطی را محاسبه کرده، و چون این مقدار 14 ثانیۀ کمانی از مقدار واقعی کمتر است، خطای محاسبه برای 265 سال برابر ´2 °1 می‌شود (برای تفصیل بیشتر، نک‍ : اونز، 155، جم‍ ؛ درایر، 528، جم‍ ‌).
شگفت آنکه اخترشناسان دورۀ اسلامی نیز این دعوی بطلمیوس را نپذیرفته بودند و می‌پنداشتند که او حداکثر طول دایرة‌البروجی چند ستاره (مانند سماک اعزل) را اندازه گرفته است تا مقداری را که هیپارخوس برای سرعت حرکت تقدیمی به دست آورده بود، بررسی کند و پس از آنکه آن را درست یافته، مقادیر طول ستارگان در مجسطی را، با افزودن 25 دقیقۀ کمانی به مقادیر جدولهای منلائوس، محاسبه کرده است؛ زیرا فاصلۀ زمانی میان ارصاد منلائوس (سال 845 از تاریخ بخت‌نصر = 98 م) و بطلمیوس (سال اول آنتونینوس = 886 بخت‌نصر = 137 / 138 م) 41 سال، و مجموع جابه‌جایی متناسب با این مدت (با فرض °01 / 0 در هر سال) تقریباً ΄25 است (بتانی، 187؛ شهمردان، همانجا). عبدالرحمان صوفی گرچه در یکایک جدولهای ستارگان صور الکواکب تأکید می‌کند که طول ستارگان را با افزودن ´42 °12 به مقادیر مجسطی به دست آورده است (مثـلاً نک‍ : 38، 48، جم‍ ‌)، اما توضیحاتش در مقدمه نشان از آن دارد که او مقادیر مذکور در مجسطی را، به‌سبب آنکه بطلمیوس مقدار ثابت حرکت تقدیمی را نادرست محاسبه کرده بود، «برای سال رصد بطلمیوس» درست نمی‌دانسته است. درواقع، صوفی برای محاسبۀ طول دایرة‌البروجی ستارگان، با توجه به فاصلۀ 866‌ سالۀ میان رصدهای خود و منلائوس و به‌ازای هر 66 سال °1، باید در مجموع ´7 °13 به مقادیر منلائوس می‌افزود؛ و چون بطلمیوس قبلاً ´25 به مقادیر منلائوس افزوده بود، وی تفاوت میان این دو مقدار، یعنی ´42 و °12 را به مقادیر یادشده در مجسطی می‌افزود (همو، 30-31؛ نصیرالدین، ترجمه ... ، 40). به‌عبارت دیگر، بهره‌گیری اخترشناسان دورۀ اسلامی از طولهای یادشده در مجسطی صرفاً برای به دست آوردن مقادیری بود که به‌گمان آنها منلائوس با رصد به دست آورده، و بنابراین قابل اعتماد بود؛ و از آنجا، با توجه به مقداری که هریک برای سرعت حرکت تقدیمی پذیرفته بودند، طولهای جدید ستارگان را برای روزگار خود به دست می‌آوردند (قس: بیرونی، القانون، 3 / 997- 998، که خود مجسطی را مبنا گرفته است).
اما اُلُغ ‌بیگ و همکارانش در رصدخانۀ سمرقند، پس‌از آنکه در مختصات ستارگان در منابع مختلف آشفتگی بسیار یافتند، بر آن شدند که طول دایرة‌البروجی ستارگان را خود اندازه بگیرند (ح 824-841 ق)، و تنها برای ستارگانی که در آسمان سمرقند دیده نمی‌شدند، مقدار °1 در 70 سال را افزودند. مؤلفان زیج آلفونسی نیز به پیروی از صوفی مقدار °1 در هر 66 سال را مبنای کار خود قرار دادند و در نتیجه ´80 °17 به طول دایرة‌البروجی ستارگان، آن‌چنان‌که در صور الکواکب صوفی آمده بود، افزودند (نک‍ : ه‍ د، الغ‌ بیگ، زیج). 
اندازه‌گیری مقدار حرکت تقدیمی همواره مورد توجه اخترشناسان بوده است و تا به امروز نیز ادامه دارد. سیمون نیوکم (1835- 1909 م) در اواخر سدۀ 19 م، با محاسباتی، میزان حرکت تقدیمی را 64 / 025‘ 5 ثانیۀ کمانی در هر یک‌صد سال اعتدالی به دست آورد که برای یک سدۀ یولیانی (یعنی یک‌صد سال 365‌روزه همراه 4 سال یک‌بار کبیسه = 525‘ 36 روز که امـروزه معمولاً در محاسبات نجومی بـه کار می‌رود) تقریباً برابر با 75 / 025‘ 5 ثانیۀ کمانی است. در 1976 م لیسکه و همکارانش با ارائۀ نظریه‌ای جدید برای این پدیده، مقدار ثابت 0966 / 029‘ 5 ثانیـۀ کمانـی را بـه دست آوردنـد (لیسکه، 15، جم‍ ‌). این ثابت تقریباً ´´ 3 / 0 در هر سدۀ یولیانی خطا داشت. در نتیجه، شماری از اخترشناسان بر آن شدند تا مؤلفۀ حرکت تقدیمی در «مدل تقدیمی ـ رقص محوری سال 2000 اتحادیۀ بین‌المللی نجوم» را، که با نظریات دینامیکی تطبیق نداشت، اصلاح کنند (هیلتن، 353). در گزارش سال 2005 م کارگروه اتحادیۀ بین‌المللی نجوم، از میان 4 نظریۀ مطرح‌شده (برتانیون، 785-790؛ کاپیتن، «تعبیرها ... »، 567-586؛ فوکوشیما، 494-534؛ هارادا، 531-538)، نظریۀ کاپیتِن و همکارانش سازگارترین نظریه به‌ شمار آمد (هیلتن، 354؛ نیز نک‍ : کاپیتن، «بهبود ... »، 355-367؛ بوردا، 691-702). بر این اساس، میزان پیش‌آمدن اعتدال نسبت به محل آن در ساعت 12 روز اول ژانویۀ سال 2000 از رابطۀ زیر به دست می‌آید:

PA = 5028.796195T + 1.1054348T2 + 0.00007964T3 – 0.000023587T4 – 0.0000000383T5

که در این رابطه T زمان گذشته از این تاریخ برحسب سدۀ یولیانی، و PA برحسب ثانیۀ کمانی است. البته این رابطه برای مقادیر کوچک T قابل استفاده است و به طور مثال، براساس رابطۀ فوق، یک گردش کامل نقطۀ اعتدال 260‘28 سال یولیانی طول می‌کشد، درحالی‌که مقدار واقعی بسیار کمتر از این است. عموماً مضرب توان اول T در رابطۀ فوق را ثابت حرکت تقدیمی می‌نامند؛ هرچند که این مقدار عملاً ثابت نیست و دورۀ تناوب آن 41 هزار سال (یعنی برابر با دورۀ تناوب میل کلی) است (کاپیتن، «تعبیرها»، 581، جم‍ ، «بهبود»، 364، جدول 4، جم‍ ‌).
براساس این رابطه، پس ‌از 576446976315022 / 71 سال یولیانی، یعنی 143‘ 26 روز و 7 ساعت و 8 دقیقه و 3 ثانیه پس‌ از نیمروز اول ژانویۀ 2000، نقطۀ اعتدال نسبت به این لحظه یک درجه پیش‌تر خواهد آمد. بر همین اساس و فقط با در نظر گرفتن ضریب T (یعنی با فرض ثابت‌گرفتن مقدار تقدیم اعتدالی)، نقطۀ اعتدال بهاری پس ‌از 57533822 / 771‘ 25 سال یولیانی (تقریباً برابر با 1257 / 772‘ 25 سال اعتدالی و 068‘ 413‘ 9 روز) به همان جایی که در اول ژانویۀ 2000 بوده است، بازمی‌گردد.
شماری از اخترشناسان یونانی و دورۀ اسلامی حرکتی دیگر برای فلک در نظر می‌گرفتند که اقبال و ادبار نامیده می‌شد. اما این باور در میان اخترشناسان مسلمان رواج چندانی نیافت (دراین‌باره، نک‍ : ه‍ د، اقبال و ادبار).

مآخذ

بتانی، محمد، الزیج ‌الصابی، به ‌کوشش ک. آ. نالّینو، رم، 1899 م؛ بیرونی، ابوریحان، التفهیم، روایت عربی، چ تصویری، همراه ترجمۀ انگلیسی رمزی رایت، آکسفرد، 1934 م؛ همان، روایت فارسی، به‌ کوشش جلال‌الدین همایی، تهران، 1351 ش؛ همو، القانون المسعودی، به‌ کوشش ماکس کراوزه، حیدرآباد دکن، 1375 ق / 1956 م؛ الـزیج المأمـونی الممتحن، چ تصویـری دست‌نویس شم‍ ‍ar 927 کتابخانۀ اسکوریال، به ‌کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1406 ق / 1986 م؛ شهمردان ابن ابی ‌الخیر، روضة‌ المنجمین، به‌ کوشش جلیل اخوان زنجانی، تهران، 1382 ش؛ صوفی، عبدالرحمان، صور الکواکب، چ تصویری، به‌ کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1986 م؛ عبدالرحمان خازنی، الزیج المعتبر السنجری، دست‌نویس شم‍ arab. 761 کتابخانۀ واتیکان؛ عبدالملک شیرازی، تلخیص المجسطی، ترجمۀ کهن فارسی قطب‌الدین ‌شیرازی، مندرج در درة ‌التاج لغرة الدباج (فن دوم از جملۀ چهارم)، به‌ کوشش حسن مشکان طبسی، تهران، 1317 ش؛ قطان مروزی، حسن، گیهان‌شناخت، به کوشش علی صفری آق‌قلعه، تهران، 1390 ش؛ مسعودی مروزی، محمد، جهان دانش، به کوشش جلیل اخوان زنجانی، تهران، 1382 ش؛ نصیرالدین طوسی، التذکرة فی علم الهیئة، بـه کوشش جمیل رجب (نک‍ : مل‍ ‌)؛ همو، ترجمۀ صور الکواکب عبدالرحمان‌ صوفی، به کوشش معزالدین مهدوی، تهران، 1351 ش؛ همو، الرسالة المعینیة، چ تصویری، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، تهران، 1335 ش؛ نیز:

Berger, A. L., «Obliquity and Precession for the Last 5000000 Years», Astronomy and Astrophysics, 1977, vol. LI (1); Bourda, G. and N. Capitaine, «Precession, Nutation, and Space Geodetic Determination of the Earth’s Variable Gravity Field», ibid, 2004, vol. CDXXVIII(2); Bretagnon, P. et al., «Expressions for Precession Consistent with the IAU 2000A Model», ibid, 2003, vol. CD (2); Capitaine, N. et al., «Expressions for IAU 2000 Precession Quantities», ibid, 2003, vol. CDXII (2); same, «Improvement of the IAU 2000 Precession Model», ibid, 2005, vol. CDXXXII(1); Dreyer, J. L. E., «On the Origin of Ptolemy’s Catalogue of Stars», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1917, vol. LXXVII; Evans, J., «On the Origin of the Ptolemaic Star Catalogue», Journal for the History of Astronomy, 1987, vols. XVIII(3) - XVIII(4); Fukushima, T., «New Precession Formula», Astronomical Journal, 2003, vol. CXXVI; Harada, W. and T. Fukushima, «New Determination of Planetary Precession», ibid, 2004, vol. CXXVII; Hilton, J. L. et al., «Report of the International Astronomical Union Division I Working Group on Precession and the Ecliptic», Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2006, vol. XCIV; Kennedy, E. S., «A Survey of Islamic Astronomical Tables», Transactions of the American Philosophical Society, New York, 1956, vol. XLVI, no. 2; Lieske, J. H. et al., «Expressions for the Precession Quantities Based upon the IAU (1976) System of Astronomical Constants», Astronomy and Astrophysics, 1977, vol. LVIII(1); Neugebauer, O., A History of Ancient Mathematical Astronomy, Berlin etc., 1975; Pedersen, O., A Survey of the Almagest, New York etc., 2010; Ptolemy, The Almagest, tr. and ed. G. J. Toomer, Princeton, 1998; Ragep, F. J., Nasir al-Dīn al-Tūsī’s Memoir on Astronomy (al-Tadhkira fī ʿilm al-hay’a), New York etc., 1993; Swerdlow, N. M., «Tycho, Longomontanus, and Kepler on Ptolemy’s Solar Observations and Theory, Precession of the Equinoxes, and Obliquity of the Ecliptic to the Nineteenth Century», Ptolemy in Perspective: Use and Criticism of His Work from Antiquit, ed. A. Jones, Dordrecht etc., 2010.

یونس کرامتی